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목록수열 (53)
수악중독
\({a_1} = 1,\;{a_2} = 1,\;{a_{n + 2}} = \displaystyle {{{1 + {a_{n + 1}}} \over {{a_n}}}} \) \((n=1, 2, 3, ...)\)으로 정의된 수열 \(\left\{ {{a_n}} \right\}\)이 있다. 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(a_{63}=2\) ㄴ. \(\lim \limits_{n \to \infty } {\displaystyle {{a_n} \over n}} = \small 0\) ㄷ. \(\sum\limits_{k = 1}^{10} {{a_{2k - 1}} = } \sum\limits_{k = 1}^{10} {{a_{2k}}} \) ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤
\(\left (1+2x+3x^2 +4x^3 + \cdots +11x^{10} \right )^2 \) 의 전개식에서 \(x^{10}\) 의 계수를 구하시오. 정답 286
\(a_1 =1,\;\;a_2 = 2,\;\;a_3 =3\) 이고 모든 자연수 \(n\) 에 대하여\[a_{4n+k} =a_n +k\;\;\;(k=0,\;1,\;2,\;3)\] 로 정의되는 수열 \(\{a_n \}\) 이 있다. 이때 \(a_{2009}\) 의 값을 구하시오. 정답 11
\(x^{2006} =1\) 의 \(1\) 이외의 근을 \(\alpha _1 ,\; \alpha _2 , \; \cdots , \; \alpha _{2005}\) 라고 할 때, \[(2+\alpha_1 ) (2+\alpha_2 )(2+\alpha _3 ) \cdots (2+\alpha_{2005} ) \] 의 값을 \(2^{2006} = A\) 를 이용하여 나타내면? ① \(A-1\) ② \(A+1\) ③ \(2A\) ④ \(\dfrac{1-A}{3}\) ⑤ \(\dfrac{A-1}{3}\) 정답 ⑤
\(2\) 이상의 자연수 \(n\) 에 대하여 분모는 \(2^n\) 꼴이고, 분자는 분모보다 작은 홀수로 이루어진 수열 \[\frac {1}{2^2} , \;\; \frac {3}{2^2} , \;\; \frac {1}{2^3} , \;\; \frac {3}{2^3} , \;\; \frac {5}{2^3} , \;\; \frac {7}{2^3} , \;\; \frac {1}{2^4} , \;\; \frac {3}{2^4} , \;\; \cdots\] 에서 제 \(126\) 항과 첫째항부터 제 \(126\) 항까지의 합을 구하여라. 정답 \({\Large \frac{127}{128}},\; 63\)
그림과 같은 \(\angle {\rm B} = 90^o ,\;\; \angle {\rm C} = 10^o \) 인 직각삼각형 모양의 실험도구가 있다. \(\rm B\) 에서 발사된 빛이 변 \(\rm AC\) 와 변 \(\rm BC\) 사이에서 여러 번 반사되어 변 \(\rm AC\) 또는 변 \(\rm BC\) 에 수직으로 도달하면 다시 \(\rm B\) 로 되돌아온다고 한다. \(\rm B\) 에서 각 \(\theta\) 의 크기로 발사된 빛이 최대한 많은 횟수로 반사되어 \(\rm B\) 로 되돌아올 때, 각 \(\theta\) 의 크기를 \(\dfrac{\pi}{a}\) 라 하자. 이 때, \(a\) 의 값을 구하시오. (단, 입사각과 반사각의 크기는 같다.) 정답 18
올해 말부터 매년 말에 일정 금액을 12년간 받는 연금이 있다. 이 연금을 올해 초에 모두 받는다면 2500만 원을 받을 수 있다. 갑은 이 연금을 5년 동안은 그냥 받다가 6년째 초에 남은 연금을 모두 받고자 한다. 6년째 초에 약 얼마의 연금을 받을 수 있겠는가?? ( 단 연이율 6%의 복리이고, 1.06^12=2, 1.06^7=1.5 이다) 정답 \(\Large \frac{5000}{3}\)
상호와 영수는 같은 은행에서 연이율 \(r\) 의 복리로 \(2000\) 년 초에 각각 \(2000\) 만 원을 대출받았다. 상호는 \(2001\) 년 초부터 매년 초에 \(a\) 만 원씩 갚아서 \(2010\) 년 초까지 \(10\) 년에 걸쳐서 대출금을 모두 상환하기로 하였고, 영수는 \(2001\) 년 말부터 매년 말에 \(b\) 만 원씩 갚아서 \(2010\) 년 말까지 \(10\) 년에 걸쳐 대출금을 모두 상환하기로 하였다. 이때, \(\dfrac{b}{a}\) 를 \(r\) 에 대한 식으로 나타내면? ① \(1-r\) ② \(\dfrac{1}{1+r}\) ③ \(r\) ④ \(1+r\) ⑤ \(1+2r+r^2\) 정답 ④