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목록(9차) 미적분 I 문제풀이 (531)
수악중독
함수 \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{2 - x}&{(x \;가 \; 유리수일\;때)}\\{\left| x \right|}&{(x\;가\;무리수일\;때)}\end{array}} \right.\] 에 대하여 옳은 것을 에서 모두 고른 것은? (단, \(n\) 은 자연수) ㄱ. \(\lim \limits _{n \to \infty} f \left ( {\dfrac{2}{\sqrt{n}}} \right ) = 0\) ㄴ. \(\lim \limits _{n \to \infty} f \left ( -1 + {\dfrac{\sqrt{2}}{n}} \right ) =1\) ㄷ. \(\lim \limits _{n \to \infty} f \left ( 1+ {\d..
연속함수에 대한 중간값의 정리는 다음과 같다. 함수 \(f(x)\) 가 닫힌구간 \([a,\;b]\) 에서 연속이고 \(f(a) \ne f(b)\) 이면 \(f(a)\) 와 \(f(b)\) 사이의 임의의 값 \(k\) 에 대하여 \(f(c)=k\;\; (a
좌표평면에서 집합 \(\{ (x,\;y) \; \vert \; 0\le x \le 1, \;\; 0 \le y \le 1\} \) 이 나타내는 영역의 넓이가 곡선 \(y=kx^2\) 에 의해 이등분될 때, 양수 \(k\) 의 값은? ① \(1\) ② \(\dfrac{4}{3}\) ③ \(\dfrac{3}{2}\) ④ \(\dfrac{16}{9}\) ⑤ \(\dfrac{9}{4}\) 정답 ④
포물선 \(y=x^2\) 위에서 두 점 \({\rm P} \left ( a,\; a^2 \right ) , \;\; {\rm Q} \left ( b,\; b^2 \right )\) 가 조건 「선분 \(\rm PQ\) 와 포물선 \(y=x^2\) 으로 둘러싸인 도형의 넓이는 \(36\)」 을 만족하면서 움직이고 있다. \( \lim \limits _{a \to \infty} \dfrac{\overline {\rm PQ}}{a}\) 의 값을 구하시오. 정답 12
실수 \(x,\;y,\;z\) 가 \[x+y+z=0,\;\;\; x^2 +y^2 +z^2 =6\] 을 만족할 때, \(x^3 +y^3 +z^3 \) 의 최댓값과 최솟값의 합은? ① \(\sqrt{3}+1\) ② \(1\) ③ \(\Large \frac{1}{2}\) ④ \(0\) ⑤ \(-\sqrt{3}+1\) 정답 ④
삼차함수 \(f(x)=x^3 -mx^2 +nx\) 는 극댓값과 극솟값을 모두 가지며 극솟값은 \(0\) 보다 크다. 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프가 \((1,\;2)\) 를 지날 때, 두 자여연수 \(m,\;n\) 에 대하여 \(m+n\) 의 값을 구하시오. 정답 9
함수 \(f(x)\) 는 임의의 실수 \(x,\;y\) 에 대하여 \[ f(x+y) = f(x) +f(2y+1) - (x+1)y\] 를 만족한다. 함수 \(f(x)\) 가 모든 실수 \(x\) 에 대하여 연속일 필요충분조건은 \(f(x)\) 가 \(x=\Box\) 에서 연속이다. \(\Box\) 안에 알맞은 값은? ① \(0\) ② \(1\) ③ \(2\) ④ \(3\) ⑤ \(4\) 정답 ②
길이가 \(2\) 인 선분 \(\rm AB\) 의 연장선 위에 동점 \(\rm P\) 가 점 \(\rm B\) 에 대하여 점 \(\rm A\) 의 반대쪽에 있다. 선분 \(\rm AP\) 를 지름으로 하는 원 위에 \(\overline {\rm BP}=\overline {\rm PQ}\) 인 점 \(\rm Q\) 를 잡아 선분 \(\rm AB\) 의 연장선에 내린 수선의 발을 \(\rm R\) 이라 한다. 점 \(\rm P\) 가 점 \(\rm B\) 로부터 한없이 멀어져 갈 때, \(\overline {\rm BR}\) 의 극한값은? ① \(1\) ② \(\Large \frac{3}{2}\) ③ \(2\) ④ \(3\) ⑤ \(4\) 정답 ③
함수 \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{ - {x^2} + 2x + a}&{(x > 2)}\\{x + 2}&{(x \le 2)}\end{array}} \right.\) 가 닫힌구간 \([1,\;4]\) 에서 최댓값을 갖지 않도록 하는 상수 \(a\) 값의 범위는? ① \(a>3\) ② \(a\ge 3\) ③ \(a>4\) ④ \(a\le 4\) ⑤ \(a\ge 4\) 정답 ③
곡선 \(y=x^2\) 위에 두 점 \({\rm P}\left (a,\;a^2 \right ), \;\;{\rm Q}\left ( b,\; b^2 \right )\) 이 있다. 원점 \(\rm O\)와 점 \({\rm A}(1,\;1)\) 을 지나는 직선과 두 점 \(\rm P,\;Q\) 를 지나는 직선의 교점을 \(\rm G\) 라고 하자. \(\overline {\rm PQ} = \sqrt{2}\) 를 만족시키면서 점 \(\rm P\) 가 원점 \(\rm O\) 에 한없이 가까워질 때, 교점 \(\rm G\)가 한없이 가까워지는 점의 좌표는? (단, \(a