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목록(9차) 미적분 I 문제풀이/함수의 극한 및 연속 (134)
수악중독
두 함수 \(f(x),\;g(x)\) 에 대하여 \(f(x)\) 는 모든 실수 \(x\) 에서 연속이고 \(g(x)\) 는 \(x=a\) 에서만 불연속이다. 함수 \(f(x)g(x)\) 가 \(x=a\) 에서 연속일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(g(a)=0\) 이다. ㄴ. 함수 \(f(x)g(x)\) 는 모든 실수 \(x\) 에서 연속이다. ㄷ. \(\lim \limits_{x\to a} f(x)=0\) 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ 정답 ⑤
그림과 같이 \(y\) 축 위의 점 \((0,\;a)\) 에서 수직으로 만나고 있는 두 직선 \[l\;:\;2x+y-a=0,\;\;\; m\;:\; x-2y+2a=0\] 이 있다. 중심이 \((p, \;q)\) 이고 두 직선 \(l,\;m\) 과 직선 \(y=-1\) 로 둘러싸인 삼각형에 내접하는 원에 대하여 \(\lim \limits_{a\to +0} p\) 의 값은? ① \(\dfrac{\sqrt{5}-3}{4}\) ② \(\dfrac{\sqrt{5}-3}{2}\) ③ \(\dfrac{-\sqrt{5}-3}{4}\) ④ \(\dfrac{-\sqrt{5}-3}{2}\) ⑤ \(-3\) 정답 ①
방정식 \(\cos x-x+1=0\) 이 오직 하나의 실근을 가질 때, 다음 중 실근이 존재하는 구간은? ① \( \left ( 0, \; \dfrac{\pi}{3} \right ) \) ② \( \left ( \dfrac{\pi}{3}, \; \dfrac{\pi}{2} \right ) \) ③ \( \left ( \dfrac{\pi}{2}, \; \dfrac{2 \pi}{3} \right ) \) ④ \( \left ( \dfrac{2 \pi}{3}, \; \pi \right ) \) ⑤ \( \left ( \pi, \; \dfrac{3 \pi}{2} \right ) \) 정답 ②
함수 \(f(x)\) 는 구간 \((-1,\;1]\) 에서 \(f(x)=(x-1)(2x-1)(x+1)\) 이고, 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(x)=f(x+2)\) 이다. \(a>1\) 에 대하여 함수 \(g(x)\) 가 \(g(x)=\left\{ {\begin{array}{ll}{x\,\,\,\left( {x \ne 1} \right)}\\{a\,\,\,\left( {x = 1} \right)}\end{array}} \right.\) 일 때, 합성함수 \((f\circ g)(x)\) 가 \(x=1\) 에서 연속이다. \(a\) 의 최솟값을 구하여라. 정답 \(\dfrac{5}{2}\)
좌표평면 위에 있는 두 점 \({\rm O}(0,\;0),\;\;{\rm A}(2, \;0)\) 과 직선 \(y=2\) 위를 움직이는 점 \({\rm P}(t,\;2)\) 가 있다. 선분 \(\rm AP\) 와 직선 \(y=\dfrac{1}{2}x\) 가 만나는 점을 \(\rm Q\) 라 하자. \(\triangle {\rm QOA}\) 의 넓이가 \(\triangle {\rm POA}\) 의 넓이의 \(\dfrac{1}{3}\) 일 때, \(t\) 의 값을 \(t_1\), \(\dfrac{1}{2}\) 일 때 \(t\) 의 값을 \(t_2\), \(\cdots\), \(\dfrac{n}{n+2}\) 일 때 \(t\) 의 값을 \(t_n\) 이라 하면, \(\lim \limits_{n \to \infty..
포물선 \(y=x(x+1)\) 위에 점 \({\rm A} (-1,\;0)\) 이 있다. 점 \(\rm P\) 가 점 \(\rm A\) 에서 포물선을 따라 원점 \(\rm O\) 로 한없이 가까이 갈 때, \(\angle {\rm APO}\) 의 크기의 극한값을 구하여라. 정답 \(135^o\) 이 문제의 풀이는 인문계 학생들을 대상으로 하였습니다. 자연계 학생들의 경우 삼각함수 tan의 덧셈정리를 이용하여 보다 쉽게 풀 수 있습니다.
\(f(x)\) 는 \(x\) 에 대한 다항식이고, \[\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1}=a,\;\; \lim \limits_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x-2}=b,\; ab>0\]일 때 \(f(x)=0\) 은 닫힌 구간 \([1, \;2]\) 에서 적어도 \(3\) 개의 실근을 가짐을 보여라. 풀이 참조
모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(2x)-f(x)-x^3\) 을 만족시키는 연속함수 \(f(x)\) 에 대한 설명으로 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(f(8)+f(-8)=f(1)+f(-1)\) ㄴ. \(f(x)+f(-x)\) 는 상수함수이다. ㄷ. \(f(0)=0\) ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ②
원 \( x^2 + y^2 = 1 \) 위를 움직이는 제1사분면 위의 점 \( {\rm P } ( \alpha , \; \beta ) \) 를 지나고 \( x \) 축과 평행한 직선을 그어 원과 만나는 다른 점을 \( {\rm Q } , \; x \) 축 위의 한 점을 \( \rm R \) 라 하자. 삼각형 \( \rm PQR \) 의 넓이를 \( S(\alpha)\) 라 할 때, \(\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to 1 - 0} \dfrac{{S(\alpha )}}{{\sqrt {1 - \alpha } }}\) 의 값은? ① \(1\) ② \(\sqrt{2}\) ③ \(\sqrt{3}\) ④ \(2\) ⑤ \(\sqrt{5}\) 정답 ②