수악중독

좌표공간에 평면 $\alpha : 2x+y+2z-9=0$ 과 구 $S:(x-4)^2+(y+3)^2+z^2=2$ 가 있다. $\left | \overrightarrow{\rm OP} \right | \le 3 \sqrt{2}$ 인 평면 $\alpha$ 위의 점 $\rm P$ 와 구 $S$ 위의 점 $\rm Q$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm OP} \cdot \overrightarrow{\rm OQ}$ 의 최댓값이 $a+b\sqrt{2}$ 일 때, $a+b$ 의 값을 구하시오. (단 점 $\rm O$ 는 원점이고, $a, \; b$ 는 유리수이다.) 정답 $21$

좌표평면에서 점 ${\rm A}(0, \; 12)$ 와 양수 $t$ 에 대하여 점 ${\rm P}(0, \; t)$ 와 점 $\rm Q$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm PQ} = 0$ (나) $\dfrac{t}{3} \le \left | \overrightarrow{\rm PQ} \right | \le \dfrac{t}{2}$ $6 \le t \le 12$ 에서 $ \left | \overrightarrow{\rm AQ} \right |$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $Mm$ 의 값은? ① $12\sqrt{2}$ ② $14\sqrt{2}$ ③ $16\sqrt{2}$ ④ $18\sqrt{..

그림과 같이 평면 $\alpha$ 위에 중심이 점 $\rm A$ 이고 반지름의 길이가 $\sqrt{3}$ 인 원 $C$ 가 있다. 점 $\rm A$ 를 지나고 평면 $\alpha$ 에 수직인 직선 위의 점 $\rm B$ 에 대하여 $\overline{\rm AB}=3$ 이다. 원 $C$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 원 $D$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 선분 $\rm BP$ 는 원 $D$ 의 지름이다.(나) 점 $\rm A$ 에서 원 $D$ 를 포함하는 평면에 내린 수선의 발 $\rm H$ 는 선분 $\rm BP$ 위에 있다. 평면 $\alpha$ 위에 $\overline{\rm AX}=5$ 인 점 $\rm X$ 가 있다. 점 $\rm P$ 가 원 $C$ 위를 움직일 때, 원 $D$ 위의 점..

좌표공간에서 점 ${\rm A} \left ( 3, \; \dfrac{1}{2}, \; 2 \right )$와 평면 $z=1$ 위의 세 점 $\rm P_1, \; P_2, \; P_3$ 이 $$\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OP_1} = \dfrac{11}{3} , \; \; \overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OP_2} = 1, \;\; \overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OP_3} = - \dfrac{7}{4}$$ 을 만족시킨다. 점 $(0, \; k, \; 0)$ 을 지나고 방향벡터가 $(1, \; -6, 0)$ 인 직선을 $l$ 이라..

그림과 같이 평면 위에 $\overline{\rm OA}=2\sqrt{11}$ 을 만족하는 두 점 $\rm O, \; A$ 와 점 $\rm O$ 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 각각 $\sqrt{5}, \; \sqrt{14}$ 인 두 원 $C_1, \; C_2$ 가 있다. 원 $C_1$ 위의 서로 다른 두 점 $\rm P, \; Q$ 와 원 $C_2$ 위의 점 $\rm R$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 양수 $k$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm PQ}=k \overrightarrow{\rm QR}$(나) $\overrightarrow{\rm PQ} \cdot \overrightarrow{\rm AR} = 0$ 이고 $\overline{\rm PQ}:\overline{\rm AR..

$xy$ 평면 위의 직선 $x=1$ 위의 임의의 점을 $\rm P$, 두 구 $$\begin{aligned} (x+1)^2+y^2+(z-4)^2 &=1, \\[10pt] (x-9)^2+(y-10)^2+(z+4)^2&=1\end{aligned} $$ 위의 임의의 점을 각각 $\rm Q, R$ 이라 하자. 이때 $\overline{\rm PQ}+\overline{\rm PR}$ 의 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $(m+2)^2$ 의 값을 구하시오. 정답 $280$

좌표평면 위의 네 점 $\rm A, \; B, \; C, \; D$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 사각형 $\rm ABCD$ 는 정사각형이다.(나) 점 $\rm A$ 의 $y$ 좌표는 점 $\rm D$ 의 $y$ 좌표보다 작다.(다) $\overrightarrow{\rm OA} + \overrightarrow{\rm OC} = (6, \; 0)$, $\overrightarrow{\rm OA}-\overrightarrow{\rm OB}=(-4, \; 2)$ $\left | \overrightarrow{\rm OC} + \overrightarrow{\rm OD} \right |^2$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이다.) 정답 $80$

$0$ 이 아닌 실수 $p$ 에 대하여 좌표평면 위의 두 포물선 $x^2=2y$ 와 $\left ( y+ \dfrac{1}{2} \right )^2 = 4px$ 에 동시에 접하는 직선의 개수를 $f(p)$ 라 하자. $\lim \limits_{p \to k+}f(p)>f(k)$ 를 만족시키는 실수 $k$ 의 값은? ① $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ② $-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ ③ $-\dfrac{\sqrt{3}}{9}$ ④ $-\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$ ⑤ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 정답 ③

좌표평면 위에 $\overline{\rm AB}=5$ 인 두 점 $\rm A, \; B$ 를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 $5$ 인 두 원을 각각 $O_1, \; O_2$ 라 하자. 원 $O_1$ 위의 점 $\rm C$ 와 원 $O_2$ 위의 점 $\rm D$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\cos (\angle \rm CAB) = \dfrac{3}{5}$(나) $\overrightarrow{\rm AB} \cdot \overrightarrow{\rm CD} =30$ 이고 $\left | \overrightarrow{\rm CD} \right | < 9$ 이다. 선분 $\rm CD$ 를 지름으로 하는 원 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm PA} \cdo..

좌표공간에 구 $S : x^2+y^2+z^2=50$ 과 점 ${\rm P}(0, \; 5, \; 5)$ 가 있다. 다음 조건을 만족시키는 모든 원 $C$ 에 대하여 $C$ 의 $xy$ 평면 위로의 정사영의 넓이의 최댓값을 $\dfrac{q}{p} \pi$ 라 하자. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) (가) 원 $C$ 는 점 $\rm P$ 를 지나는 평면과 구 $S$ 가 만나서 생긴다.(나) 원 $C$ 의 반지름의 길이는 $1$ 이다. 정답 $9$