(이과) 공간좌표&공간도형_난이도 상 (2018년 10월 교육청 가형 29번)

그림과 같이 평면 $\alpha$ 위에 중심이 점 $\rm A$ 이고 반지름의 길이가 $\sqrt{3}$ 인 원 $C$ 가 있다. 점 $\rm A$ 를 지나고 평면 $\alpha$ 에 수직인 직선 위의 점 $\rm B$ 에 대하여 $\overline{\rm AB}=3$ 이다. 원 $C$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 원 $D$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 

(가) 선분 $\rm BP$ 는 원 $D$ 의 지름이다.

(나) 점 $\rm A$ 에서 원 $D$ 를 포함하는 평면에 내린 수선의 발 $\rm H$ 는 선분 $\rm BP$ 위에 있다.

평면 $\alpha$ 위에 $\overline{\rm AX}=5$ 인 점 $\rm X$ 가 있다. 점 $\rm P$ 가 원 $C$ 위를 움직일 때, 원 $D$ 위의 점 $\rm Q$ 에 대하여 선분 $\rm XQ$ 의 길이의 최댓값은 $m+\sqrt{n}$ 이다. $m+n$ 의 값을 구하시오. (단, $m, ~n$ 은 자연수이다.) 

정답 $28$