수악중독

함수 $$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{{x^2} + 5}&{\left( {x < a} \right)}\\{3x + b}&{\left( {x \ge a} \right)}\end{array}} \right.$$ 가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 두 실수 $a, \; b$ 에 대하여 $a+b$ 의 최솟값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 정답 ④

어느 고등학교에 $8$ 명의 학생으로 구성된 수학 동아리가 있다. 이 동아리가 활동할 요일을 정하기 위해 모든 구성원이 참여하여 화요일, 수요일, 목요일, 금요일 중 하나의 요일을 선택하는 비공개 투료를 실시하려고 한다.모든 구성원이 참여하여 투표를 마쳤을 때, 나올 수 있는 투표 집계표의 가짓수는? (단, 무효표는 없고, 어떤 사람이 어떤 요일을 선택하였는지에 대해서는 알 수 없다.) ① $156$ ② $159$ ③ $162$ ④ $165$ ⑤ $168$ 정답 ④

다항함수 $f(x)$ 에대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(1, \;f(1))$ 에서의 접선이 점 $(0, \;3)$ 을 지나고, 곡선 $y=xf(x)$ 위의 점 $(1, \;f(1))$ 에서의 접선이 점 $(0, \;-2)$ 를 지난다. $f(1)$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 정답 ⑤

수열 $\{a_n\}$ 은 $a_1=\dfrac{3}{2}$ 이고 $$(n+2)(2n+1)a_{n+1} = -n(2n+3)a_n \;\; (n\ge 1)$$ 을 만족시킨다. 다음은 일반항 $a_n$ 이 $$a_n = (-1)^{n-1} \times \dfrac{2n+1}{n(n+1)}\;\;\; \cdots \;\; (*)$$ 임을 구학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다. (i) $n=1$ 일 때, $$(좌변)=a_1= \dfrac{3}{2}, \;\;\; (우변)= (-1)^0 \times \dfrac{3}{1 \times 2} = \dfrac{3}{2}$$ 이므로 $(*)$ 이 성립한다. (ii) $n=k$ 일 때, $(*)$ 이 성립한다고 가정하면 $$a_k = (-1)^{k-1}\times \df..

삼차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $\dfrac{f(2)}{f'(2)}$ 의 값은? (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)+f(-x)=0$ 이다.(나) $\displaystyle \int_0^1 f'(x) dx = \int_{-2}^2 f'(x) dx$ ① $-\dfrac{1}{7}$ ② $-\dfrac{2}{7}$ ③ $-\dfrac{3}{7}$ ④ $-\dfrac{4}{7}$ ⑤ $-\dfrac{5}{7}$ 정답 ②

그림과 같이 $\overline{\rm A_1D_1}=3, \; \overline{\rm A_1B_1}=4$ 인 직사각형 $\rm A_1B_1C_1D_1$ 의 변 $\rm A_1B_1, \; B_1C_1, \; C_1D_1, \; D_1A_1$ 의 중점을 각각 $\rm M_1, \; N_1, \; P_1, \; Q_1$ 이라 하고, 이 점들을 연결하여 사각형 $\rm M_1N_1P_1Q_1$ 을 만든다.삼각형 $\rm A_1M_1Q_1, \; B_1N_1M_1, \; C_1P_1N_1, \; D_1Q_1P_1$ 에 각각 내접하는 원을 그리고, 각 삼각형의 내부와 내접하는 원의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자.그림 $R_1$ 에서 사각형 $\rm M_1N_1P_1Q_1$ 에 내..

$1 \le k \le n$ 인 두 자연수 $k, \; n$ 에 대하여 $S(k)= \sum \limits_{i=1}^{n} |k-i|$ 일 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $n=9$ 일 때, $S(8)=29$ 이다.ㄴ. $n=m$ 일 때, $S(1)=S(m)$ 이다.다. $n=25$ 일 때, $S(k)$ 의 최솟값은 $156$ 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

어느 공장에서 생산되는 제품 $1$ 개의 무게는 평균이 $100 \rm kg$, 표준편차가 $2 \rm kg$ 인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산된 제품 중에서 임의로 추출한 제품 $n$ 개의 무게의 표본평균이 $99.4 \rm kg$ 이상일 확률이 $0.9332$ 일 때, 자연수 $n$ 의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구하시오. 정답 $25$

어느 고등학교 체육 대회에서 이어달리기 학급대표로 세 학생 $\rm A, \; B, \;C$ 를 포함한 $5$ 명의 학생이 선발되었다. 이 $5$ 명의 학생들이 달리는 순서를 정할 때, 두 학생 $\rm A, \;B$ 가 학생 $\rm C$ 보다 먼저 달리는 순서로 정해질 확률은 $p$ 이다. $90p$ 의 값을 구하시오. 정답 $30$

유리함수 $f(x)=\dfrac{bx+c}{x+a}$ ( $a, \;b, \;c$ 는 상수) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $y=f(x)$ 의 그래프는 점 $(0, \;1)$ 에 대하여 대칭이다.(나) $f(-4)=0$ 함수 $y=f(x)$ 의 그래프 위의 제1사분면 위의 점 $\rm P$ 에서 $x$ 축, $y$ 축에 내린 수선의 발을 각각 $\rm A, \; B$ 라 할 때, $\overline{\rm AP} + \overline{\rm BP}$ 의 최솟값은 $m$ 이다. $10m$ 의 값을 구하시오. 정답 $50$