수학1_수학적 귀납법_부등식의 증명_난이도 중

다음은 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 부등식 \[\sum \limits_{i=1}^{2n+1} \dfrac{1}{n+i} = \dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+ \cdots + \dfrac{1}{3n+1}>1\] 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

 

자연수\(n\) 에 대하여 \(a_n = \dfrac{1}{n+1}+ \dfrac{1}{n+2} + \cdots + \dfrac{1}{3n+1}\) 이라 할 때, \(a_n >1\) 임을 보이면 된다.

(1) \(n=1\) 일 때, \(a_1=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\dfrac{1}{4}>1\) 이다.

(2) \(n=k\) 일 때, \(a_k >1\) 이라고 가정하면, \(n=k+1\) 일 때

     \(\begin{aligned} a_{k+1} &= \dfrac{1}{k+2}+\dfrac{1}{k+3}+ \cdots + \dfrac{1}{3k+4} \\ &= a_k + \left ( \dfrac{1}{3k+2}+\dfrac{1}{3k+3}+\dfrac{1}{3k+4} \right ) - (가) \end{aligned}\)

     한편, \((3k+2)(3k+4)\; (나) \; (3k+3)^2\) 이므로

     \(\dfrac{1}{3k+2}+\dfrac{1}{3k+4} > \;(다)\)

     그런데 \(a_k >1\) 이므로

     \(a_{k+1}>a_k + \left ( \dfrac{1}{3k+3} + \; (다)\; \right )-\;(가)\;>1\)

그러므로 (1), (2)에 의하여 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(a_n >1\) 이다. 

 

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

 

	(가)	(나)	(다)
①	\[\dfrac{1}{k+1}\]	\[>\]	\[\dfrac{2}{3k+3}\]
②	\[\dfrac{1}{k+1}\]	\[<\]	\[\dfrac{2}{3k+3}\]
③	\[\dfrac{1}{k+1}\]	\[<\]	\[\dfrac{4}{3k+3}\]
④	\[\dfrac{2}{k+1}\]	\[>\]	\[\dfrac{4}{3k+3}\]
⑤	\[\dfrac{2}{k+1}\]	\[<\]	\[\dfrac{1}{k+1}\]

 

 

 

정답 ②