수악중독

그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 $4$, 높이가 $3$ 인 원기둥이 있다. 선분 $\rm AB$ 는 이 원기둥의 한 밑면의 지름이고 $\rm C, \; D$ 는 다른 밑면의 둘레 위의 서로 다른 두 점이다. 네 점 $\rm A, \; B, \; C, \; D$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, 선분 $\rm CD$ 의 길이는? (가) 삼각형 $\rm ABC$ 의 넓이는 $16$ 이다. (나) 두 직선 $\rm AB, \; CD$는 서로 평행하다. ① $5$ ② $\dfrac{11}{2}$ ③ $6$ ④ $\dfrac{13}{2}$ ⑤ $7$ 더보기 정답 ③

그림과 같이 $\overline{\rm BC}=\overline{\rm CD}=3$ 이고 $\angle \rm BCD=90^{\rm o}$ 인 사면체 $\rm ABCD$ 가 있다. 점 $\rm A$ 에서 평면 $\rm BCD$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 할 때, 점 $\rm H$ 는 선분 $\rm BD$ 를 $1:2$ 로 내분하는 점이다. 삼각형 $\rm ABC$ 의 넓이가 $6$ 일 때, 삼각형 $\rm AHC$ 의 넓이는? ① $2 \sqrt{3}$ ② $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$ ③ $3\sqrt{3}$ ④ $\dfrac{7\sqrt{3}}{2}$ ⑤ $4\sqrt{3}$ 더보기 정답 ②

좌표공간에 직선 $\rm AB$ 를 포함하는 평면 $\alpha$ 가 있다. 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 점 $\rm C$ 에 대하여 직선 $\rm AB$ 와 직선 $\rm AC$ 가 이루는 예각의 크기를 $\theta_1$ 이라 할 때 $\sin \theta_1=\dfrac{4}{5}$ 이고, 직선 $\rm AC$ 와 평면 $\alpha$ 가 이루는 예각의 크기는 $\dfrac{\pi}{2}-\theta_1$ 이다. 평면 $\rm ABC$ 와 평면 $\alpha$ 가 이루는 예각의 크기를 $\theta_2$ 라 할 때, $\cos \theta_2$ 의 값은? ① $\dfrac{\sqrt{7}}{4}$ ② $\dfrac{\sqrt{7}}{5}$ ③ $\dfrac{\sqrt{7}}{6}$ ④ $\..

좌표공간에 정사면체 $\rm ABCD$ 가 있다. 정삼각형 $\rm BCD$ 의 외심을 중심으로 하고 점 $\rm B$ 를 지나는 구를 $S$ 라 하자. 구 $S$ 와 선분 $\rm AB$ 가 만나는 점 중 $\rm B$ 가 아닌 점을 $\rm P$, 구 $S$ 와 선분 $\rm AC$ 가 만나는 점 중 $\rm C$ 가 아닌 점을 $\rm Q$, 구 $S$ 와 선분 $\rm AD$ 가 만나는 점 중 $\rm D$ 가 아닌 점을 $\rm R$ 라 하고, 점 $\rm P$ 에서 구 $S$ 에 접하는 평면을 $\alpha$ 라 하자. 구 $S$ 의 반지름의 길이가 $6$ 일 때, 삼각형 $\rm PQR$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영의 넓이는 $k$ 이다. $k^2$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답..

그림과 같이 한 변의 길이가 $4$ 인 정삼각형을 밑면으로 하고 높이가 $4+2\sqrt{3}$ 인 정삼각기둥 $\rm ABC-DEF$ 와 $\overline{\rm DG}=4$ 인 선분 $\rm AD$ 위의 점 $\rm G$ 가 있다. 점 $\rm H$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 삼각형 $\rm CGH$ 의 평면 $\rm ADEB$ 위로의 정사영은 정삼각형이다. (나) 삼각형 $\rm CGH$ 의 평면 $\rm DEF$ 위로의 정사영의 내부와 삼각형 $\rm DEF$ 의 내부의 공통부분의 넓이는 $2 \sqrt{3}$ 이다. 삼각형 $\rm CGH$ 의 평면 $\rm ADFC$ 위로의 정사영의 넓이를 $S$ 라 할 때, $S^2$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $48$

좌표공간에 점 $(4, \; 3, \; 2)$ 를 중심으로 하고 원점을 지나는 구 $$S:(x-4)^2+(y-3)^2+(z-2)^2=29$$ 가 있다. 구 $S$ 위의 점 ${\rm P}(a, \; b, \; 7)$ 에 대하여 직선 $\rm OP$ 를 포함하는 평면 $\alpha$ 가 구 $S$ 와 만나서 생기는 원을 $C$ 라 하자. 평면 $\alpha$ 와 원 $C$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 직선 $\rm OP$ 와 $xy$ 평면이 이루는 각의 크기와 평면 $\alpha$ 와 $xy$ 평면이 이루는 각의 크기는 같다. (나) 선분 $\rm OP$ 는 원 $C$ 의 지름이다 $a^2+b^2

좌표공간에 두 개의 구 $$S_1 : x^2+y^2 +(z-2)^2=4, \quad S_2 : x^2 +y^2+(z+7)^2=49$$ 가 있다. 점 ${\rm A} \left ( \sqrt{5}, \; 0, \; 0 \right )$ 을 지나고 $zx$ 평면에 수직이며, 구 $S_1$ 과 $z$ 좌표가 양수인 한 점에서 접하는 평면을 $\alpha$ 라 하자. 구 $S_2$ 가 평면 $\alpha$ 와 만나서 생기는 원을 $C$ 라 할 때, 원 $C$ 위의 점 중 $z$ 좌표가 최소인 점을 $\rm B$ 라 하고 구 $S_2$ 와 점 $\rm B$ 에서 접하는 평면을 $\beta$ 라 하자. 원 $C$ 의 평면 $\beta$ 위로의 정사영의 넓이가 $\dfrac{q}{p}\pi$ 일 때, $p+q$ 의 ..

공간에서 중심이 $\rm O$ 이고 반지름의 길이가 $4$ 인 구와 점 $\rm O$ 를 지나는 평면 $\alpha$ 가 있다. 평면 $\alpha$ 와 구가 만나서 생기는 원 위의 서로 다른 세 점 $\rm A, \; B, \; C$ 에 대하여 두 직선 $\rm OA, \; BC$ 가 서로 수직일 때, 구 위의 점 $\rm P$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\angle {\rm PAO} = \dfrac{\pi}{3}$ (나) 점 $\rm P$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영은 선분 $\rm OA$ 위에 있다. $\cos (\angle {\rm PAB})=\dfrac{\sqrt{10}}{8}$ 일 때, 삼각형 $\rm PAB$ 의 평면 $\rm PAC$ 위로의 정사영의 넓이를 $S$ 라 ..

좌표공간에 중심이 $\rm C \left (2, \; \sqrt{5}, \; 5 \right )$ 이고 점 $\rm P(0, \; 0, \; 1)$ 을 지나는 구 $$S \; : \; (x-2)^2+ \left (y-\sqrt{5} \right )^2 +(z-5)^2=25$$ 가 있다. 구 $S$ 가 평면 $\rm OPC$ 와 만나서 생기는 원 위를 움직이는 점 $\rm Q$, 구 $S$ 위를 움직이는 점 $\rm R$ 에 대하여 두 점 $\rm Q, \; R$ 의 $xy$ 평면 위로의 정사영을 각각 $\rm Q_1, \; R_1$ 이라 하자. 삼각형 $\rm OQ_1R_1$ 의 넓이가 최대가 되도록 하는 두 점 $\rm Q, \; R$ 에 대하여 삼각형 $\rm OQ_1R_1$ 의 평면 $\rm PQR..

한 변의 길이가 $4$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 를 한 면으로 하는 사면체 $\rm ABCD$ 의 꼭짓점 $\rm A$ 에서 평면 $\rm BCD$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 할 때, 점 $\rm H$ 는 삼각형 $\rm BCD$ 의 내부에 놓여 있다. 직선 $\rm DH$ 가 선분 $\rm BC$ 와 만나는 점을 $\rm E$ 라 할 때, 점 $\rm E$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\angle \rm AEH = \angle DAH$ (나) 점 $\rm E$ 는 선분 $\rm CD$ 를 지름으로 하는 원 위의 점이고 $\overline{\rm DE}=4$ 이다. 삼각형 $\rm AHD$ 의 평면 $\rm ABD$ 위로의 정사영의 넓이는 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p..