수악중독

함수 $$f(x) = \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\left ( \dfrac{x-1}{k} \right )^{2n} -1}{\left ( \dfrac{x-1}{k} \right ) ^{2n} +1} \;\; (k>0) $$ 에 대하여 함수 $$g(x)= \begin{cases} (f \circ f)(x) & (x=k) \\ (x-k)^2 & ( x \ne k) \end{cases}$$ 가 실수 전체의 집합에서 연속이다. 상수 $k$ 에 대하여 $(g \circ f)(k)$ 의 값은? ① $1$ ② $3$ ③ $5$ ④ $7$ ⑤ $9$ 정답 ⑤

자연수 $n$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 정사각형의 개수를 $S_n$ 이라 하자. (가) 정사각형은 한 변의 길이가 $1$ 이고 꼭짓점의 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 정수이다.(나) 연립부등식 $\dfrac{1}{2}x^2

그림과 같이 자연수 $n$ 에 대하여 점 ${\rm A}(2n, \; n+3)$ 을 지나고 기울기가 양수인 직선이 점 ${\rm B}(n, \; 0)$ 을 중심으로 하고 반지름이 길이가 $n$ 인 원에 접할 때, 이 직선이 원과 만나는 점을 $\rm C$, $y$ 축과 만나는 점을 $\rm D$ 라 하자. 사각형 $\rm OBCD$ 의 둘레의 길이와 넓이를 각각 $l_n, \; S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{l_n \times S_n}{n^3}$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이다.)정답 $4$

그림과 같이 $\overline{\rm A_1B_1}=2$, $\overline{\rm B_1C_1}=3$ 인 직사각형 $\rm A_1B_1C_1D_1$ 이 있다. 선분 $\rm A_1D_1$ 을 삼등분하는 점 중에서 $\rm A_1$ 에 가까운 점부터 차례대로 $\rm E_1, \; F_1$ 이라 하고, 선분 $\rm B_1F_1$ 과 선분 $\rm C_1E_1$ 의 교점을 $\rm G_1$ 이라 하자. 삼각형 $\rm B_1G_1E_1$ 과 삼각형 $\rm C_1F_1G_1$ 의 내부에 색칠하여 얻은 그리을 $R_1$ 이라 하자.그림 $R_1$ 에서 선분 $\rm B_1C_1$ 위에 두 꼭짓점 $\rm B_2, \; C_2$ 가 있고, 선분 $\rm B_1G_1$ 위에 꼭짓점 $\rm A_2$, 선분..

$3$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 좌표평면에서 다음 조건을 만족시키는 점 ${\rm P}(x, \; y)$의 개수를 $a_n$ 이라 하자. (가) $x, \;y$ 는 모두 음이 아닌 정수이다.(나) 원점 $\rm O$ 에 대하여 $\overline{\rm OP} \le n$ 이다.(다) $2x-y\sqrt{n^2-4} \ge 0$ 이다. 예를 들어, $a_3=5, \; a_4=7$ 이다. $b_n = \sum \limits_{k=3}^{2n+2} a_k$ 라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{3b_n-9n^2}{n+1}$ 의 값을 구하시오. 정답 $27$

수열 $\{a_n\}$ 을 다음과 같이 정의하자. 두 자연수 $m, \; n$ 에 대하여 $m-\dfrac{1}{2} < \sqrt{\dfrac{n}{3}} < m+ \dfrac{1}{2}$ 일 때, $a_n=m$ 이다. 예를 들어, $m=1$ 일 때, $1 \le n \le 6$ 이므로 $a_1=a_2=\cdots=a_6=1$ 이다.$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n\sqrt{n}} \sum \limits_{k=1}^n a_k = p$ 일 때, $81p^2$ 의 값을 구하시오. 정답 $12$

두 집합 $A=\{2l \;|\; l$ 은 자연수$\}$ , $B=\{2^m \; | \; m$ 은 자연수$\}$ 가 있다. 집합 $A$ 의 원소 $a$ 에 대하여 집합 $B$ 의 원소 중 $a$ 의 약수의 최댓값을 $M(a)$ 라 하자. 예를 들어, $M(2)=2, \; M(12)=4$ 이다. 수열 $\{a_n\}$ 을 $$a_n=\sum \limits_{k=1}^{2^{n-1}} M(2k)\;\; (n=1, \;2, \;3, \; \cdots )$$ 라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{150a_n}{(3n+1)\times 2^n}$ 의 값을 구하시오. 정답 $25$

첫째항이 $-19$ 이고 공차가 양수인 등차수열 $\{a_n\}$ 의 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합을 $S_n$ 이라 하자. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $S_2 = -35$ 일 때, $a_3 = -13$ 이다.ㄴ. $S_9 = S_{11}$ 일 때, $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{a_n a_{n+1}} = -\dfrac{1}{38}$ 이다.ㄷ. $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{a_n a_{n+1}} = -\dfrac{1}{57}$ 일 때, $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{|a_n a_{n+1}|}=\dfrac{56}{57}$ 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ..

두 함수 $$f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2x^{2n+1}}{1+x^{2n}}, \;\; g(x)=x+a$$ 의 그래프의 교점의 개수를 $h(a)$ 라 할 때, $h(0)+\lim \limits_{a \to 1+} h(a)$ 의 값은? (단, $a$ 는 실수이다.) ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 정답 ④

그림과 같이 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형 $\rm A_1B_1C_1D_1$ 안에 꼭짓점 $\rm A_1, \; C_1$ 을 중심으로 하고 선분 $\rm A_1B_1, \; C_1 D_1$ 을 반지름으로 하는 사분원을 각각 그린다. 선분 $\rm A_1C_1$ 이 두 사분원과 만나는 점 중 점 $\rm A_1$ 과 가까운 점을 $\rm A_2$, 점 $\rm C_1$ 과 가까운 점을 $\rm C_2$ 라 하자. 선분 $\rm A_1D_1$ 에 평행하고 점 $\rm A_2$ 를 지나는 직선이 선분 $\rm A_1B_1$ 과 만나는 점을 $\rm E_1$, 선분 $\rm B_1C_1$ 에 평행하고 점 $\rm C_2$ 를 지나는 직선이 선분 $\rm C_1D_1$ 과 만나는 점을 $\rm F_1$ 이라..