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목록(고1) 수학 - 문제풀이/방정식과 부등식 (235)
수악중독
그림과 같이 최고차항의 계수의 절댓값이 같은 세 이차함수 $y=f(x), \; y=g(x), \; y=h(x)$ 의 그래프가 있다. 방정식 $f(x)+g(x)+h(x)=0$ 의 모든 근의 합은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ④
그림과 같이 두 직선 $$\begin{aligned} l_1 \; &: \; 2x-y+1=0 \\ l_2 \; &: \; x+y-4=0 \end{aligned}$$ 과 $x$ 축으로 둘러싸인 부분에 직사각형이 있다. 이 직사각형의 한 변은 $x$ 축 위에 있고 두 꼭짓점은 각각 직선 $l_1, \; l_2$ 위에 있을 때, 직사각형의 넓이의 최댓값은? ① $\dfrac{23}{8}$ ② $3$ ③ $\dfrac{25}{8}$ ④ $\dfrac{13}{4}$ ⑤ $\dfrac{27}{8}$ 더보기 정답 ⑤
복소수 $z=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ 에 대하여 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $i=\sqrt{-1}$) ㄱ. $z^3=1$ ㄴ. $z^4+z^5 = -1$ ㄷ. $z^n+z^{2n} + z^{3n} + z^{4n} +z^{5n}=-1$ 을 만족시키는 $100$ 이하의 모든 자연수 $n$ 의 개수는 $66$ 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ③
실수 $k$ 에 대하여 이차함수 $y=(x-k)^2-2$ 의 그래프와 직선 $y=2$ 는 서로 다른 두 점 $\rm A, \; B$ 에서 만난다. 삼각형 $\rm AOB$ 가 이등변삼각형이 되도록 하는 서로 다른 $k$ 의 개수를 $n$, $k$ 의 최댓값을 $M$ 이라 하자. $n+M$ 의 값은? (단, $\rm O$ 는 원점이고, 점 $\rm A$ 의 $x$ 좌표는 점 $\rm B$ 의 $x$ 좌표보다 작다.) ① $7+\sqrt{3}$ ② $7+2\sqrt{3}$ ③ $7+3\sqrt{3}$ ④ $9+2\sqrt{3}$ ⑤ $9+3\sqrt{3}$ 더보기 정답 ②
$x$ 에 대한 연립이차부등식 $$\begin{cases} x^2 -10x +21 \le 0 \\ x^2 -2(n-1)x+n^2-2n \ge 0 \end{cases}$$ 을 만족시키는 정수 $x$ 의 개수가 $4$ 가 되도록 하는 모든 자연수 $n$ 의 값의 합을 구하시오. 더보기 정답 $30$
$t \ge 0$ 인 실수 $t$ 에 대하여 $t \le x \le t+3$ 에서 이차함수 $f(x)=x^2-4tx+10t$ 의 최댓값과 최솟값의 합을 $g(t)$ 라 하자. $t$ 에 대한 방정식 $g(t)=-4t+a$ 의 서로 다른 실근의 개수가 $4$ 가 되도록 하는 모든 실수 $a$ 의 값의 범위는 $p
두 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 이차함수 $f(x)=a(x-2)(x-b)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(4)$ 의 값은? (가) $f(0)=6$ (나) $x$ 의 값의 범위가 $x>2$ 일 때, $f(x)>0$ 이다. ① $18$ ② $20$ ③ $22$ ④ $24$ ⑤ $26$ 더보기 정답 ①
$x$ 에 대한 삼차방정식 $x^3+(k-1)x^2-k=0$ 의 한 허근을 $z$ 라 할 때, $z+\overline{z}=-2$ 이다. 실수 $k$ 의 값은? (단, $\overline{z}$ 는 $z$ 의 켤레복소수이다.) ① $\dfrac{3}{2}$ ② $2$ ③ $\dfrac{5}{2}$ ④ $3$ ⑤ $\dfrac{7}{2}$ 더보기 정답 ②
그림과 같이 이차함수 $y=ax^2 \; (a>0)$ 의 그래프와 직선 $y=\dfrac{1}{2}x+1$ 이 서로 다른 두 점 $\rm P, \; Q$ 에서 만난다. 선분 $\rm PQ$ 의 중점 $\rm M$ 에서 $y$ 축에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하자. 선분 $\rm MH$ 의 길이가 $1$ 일 때, 선분 $\rm PQ$ 의 길이는? ① $4$ ② $\dfrac{9}{2}$ ③ $5$ ④ $\dfrac{11}{2}$ ⑤ $6$ 더보기 정답 ③
이차항의 계수가 $1$인 이차다항식 $P(x)$ 와 일차항의 계수가 $1$인 일차다항식 $Q(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 다항식 $P(x+1)-Q(x+1)$ 은 $x+1$ 로 나누어 떨어진다. (나) 방정식 $P(x)-Q(x)=0$ 은 중근을 갖는다. 다항식 $P(x)+Q(x)$ 를 $x-2$ 로 나눈 나머지가 $12$ 일 때, $P(2)$ 의 값은? ① $7$ ② $8$ ③ $9$ ④ $10$ ⑤ $11$ 더보기 정답 ②