미적분과 통계기본_통계_이산확률변수의 기댓값_난이도 상

\(1,\;2,\;3,\; \cdots,\; n\) 의 번호가 하나씩 적혀 있는 \(n\) 개의 모양과 크기가 같은 공이 들어 있는 상자에서 \(5\) 개의 공을 동시에 꺼내어 그 번호의 최댓값을 확률변수 \(X\) 라고 하자. 다음은 \(X\) 의 기댓값 \({\rm E} (X)\) 를 구하는 과정이다.

\(1,\;, 2,\;3,\; \cdots ,\; k,\; \cdots ,\; n\) 중에서 \(5\) 개를 꺼낼 때, 최대의 눈을 \(X\) 라고 하면

\({\rm P} (X=k) = \;(가)\;\)

\(\therefore {\rm E}(X)=\sum \limits _{k=5}^{n} k \cdot {\rm P} (X=k) = \sum \limits _{k=5}^{n} k \cdot \;(가)\)

이때, \(k\cdot {_{k-1} {\rm C} _4} = k \cdot {\Large \frac{(k-1)(k-2)(k-3)(k-4)}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}=\;(나)\)

따라서 \({\rm E} (X)=\; (다)\) 

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?
 

	(가)	(나)	(다)
①	\[ \frac{_{k-1} {\rm C}_4 }{_n {\rm C} _5}\]	\[_k {\rm C} _5\]	\[\frac{6(n+1)}{5}\]
②	\[ \frac{_{k} {\rm C}_5 }{_n {\rm C} _5}\]	\[_k {\rm C}_5\]	\[\frac{6}{5(n+1)}\]
③	\[ \frac{_{k-1} {\rm C}_4 }{_n {\rm C} _5}\]	\[5 \cdot _k {\rm C} _5\]	\[\frac{6(n+1)}{5}\]
④	\[ \frac{_{n-k} {\rm C}_4 }{_n {\rm C} _5}\]	\[5 \cdot _k {\rm C} _5\]	\[\frac{5}{6(n+1)}\]
⑤	\[ \frac{_{k-1} {\rm C}_4 }{_n {\rm C} _5}\]	\[5 \cdot _k {\rm C} _5\]	\[\frac{5(n+1)}{6}\]

정답 ⑤