중학교 복습_닮음꼴과 닮음비_난이도 중 (2024년 3월 전국연합 고1 20번)

 

 

그림과 같이 한 변의 길이가 $12$ 인 정삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 변 $\mathrm{BC}$ 위에 $\overline{\mathrm{DC}}=4$ 인 점 $\mathrm{D}$ 가 있다. 선분 $\mathrm{AD}$ 를 한 변으로 하는 정삼각형 $\mathrm{ADE}$ 에 대하여 선분 $\mathrm{AC}$ 와 선분 $\mathrm{DE}$ 가 만나는 점을 $\mathrm{F}$ 라 하자. 

 

 

다음은 선분 $\mathrm{CF}$ 의 길이를 구하는 과정이다.

 

두 정삼각형 $\mathrm{ABC, \; ADE}$ 에서 $$\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AC}}, \; \overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{AE}}$$ 이고, $$\angle \mathrm{BAD}=60^{\mathrm o} - \angle \mathrm{DAC} = \angle \mathrm{CAE}$$ 이므로 삼각형 $\mathrm{ABD}$ 와 삼각형 $\mathrm{ACE}$ 는 서로 합동이다. 그러므로 $$\angle \mathrm{ECA}=60^{\mathrm o}, \; \overline{\mathrm{CE}}=\boxed{ \text{ (가) }}$$ 이다.

한편 각 $\mathrm{AFD}$ 와 각 $\mathrm{CFE}$ 는 서로 맞꼭지각이고, $\angle \mathrm{FDA}=\angle \mathrm{ECF}$ 이므로 $$\angle \mathrm{DAF} = \angle \mathrm{FEC}$$ 이다. 또한 $\angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{ECF}$ 이므로 삼각형 $\mathrm{ACD}$ 와 삼각형 $\mathrm{ECF}$ 는 서로 닮은 도형이고, 삼각형 $\mathrm{ACD}$ 와 삼각형 $\mathrm{ECF}$ 의 닮음비는 $\boxed{\text{ (나) }} : 2$ 이다. 따라서 $$\overline{\mathrm{CF}}=\boxed{\text{ (다) }}$$ 이다.

 

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p, \; q, \; r$ 이라 할 때, $p+q+r$ 의 값은? (단, 선분 $\mathrm{AB}$ 와 선분 $\mathrm{DE}$ 는 만나지 않는다.)

 

① $\dfrac{41}{3}$          ② $14$          ③ $\dfrac{43}{3}$          ④ $\dfrac{44}{3}$          ⑤ $15$

 

정답 ①