삼각함수의 극한 활용_난이도 중상 (2020년 6월 평가원 고3 가형 28번)

그림과 같이 $\overline{\rm AB}=1, \; \overline{\rm BC}=2$ 인 두 선분 $\rm AB, \; BC$ 에 대하여 선분 $\rm BC$ 의 중점을 $\rm M$, 점 $\rm M$ 에서 선분 $\rm AB$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하자. 중심이 $\rm M$ 이고 반지름의 길이가 $\overline{\rm MH}$ 인 원의 선분 $\rm AM$ 과 만나는 점을 $\rm D$, 선분 $\rm HC$ 가 선분 $\rm DM$ 과 만나는 점을 $\rm E$ 라 하자. $\angle \rm ABC = \theta$ 라 할 때, 삼각형 $\rm CDE$ 의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $\rm MEH$ 의 넓이를 $g(\theta)$ 라 하자.
$\lim \limits_{\theta \to 0+}\dfrac{f(\theta)-g(\theta)}{\theta ^3}=a$ 일 때, $80a$ 의 값을 구하시오. (단, $0 < \theta <\dfrac{\pi}{2}$ ) 

정답 $15$