항등식과 나머지 정리_인수정리_난이도 상

다음은 $x$ 에 대한 다항식 $ax^9+bx^8+1$ 이 다항식 $x^2-x-1$ 로 나누어떨어지기 위한 정수 $a, \; b$ 의 값을 구하는 과정의 일부이다.

방정식 $ x^2-x-1$ 의 두 근을 $p, \;q$ 라 하면 $$p+q=1, \;\; pq=-1$$ 이다.

따라서 $p^2+q^2=(가) , \;\; p^4+q^4=(나)$ 이다.

$x$ 에 대한 다항식 $ax^9+bx^8+1$ 이 $x^2-x-1$ 로 나누어 떨어지면 $$ ap^9+bp^8=-1 \cdots\cdots①$$ $$ aq^9+bq^8=-1 \cdots\cdots ②$$ 이다. 

①, ②의 양변에 각각 $q^8, \;p^8$ 을 곱하여 정리하면 $$ap+b=-q^8 \cdots\cdots③$$ $$ aq+b=-p^8\cdots\cdots④$$ 이다.

③에서 ④를 뺀 식으로부터 $a(p-q)=p^8-q^8$ 이고, $p \ne q$ 이므로 $a=\dfrac{p^8-q^8}{p-q}$ 이다.

따라서 $a=(다)$ 이다.

$$\vdots$$ 

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $r, \;s, \; t$ 라 할 때, $r+s+t$ 의 값은?

① $27$          ② $29$          ③ $31$          ④ $33$          ⑤ $35$

정답 ③