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목록정사영의 넓이 (26)
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그림과 같이 평면 \(\alpha\) 위에 \(\angle {\rm A}=\dfrac{\pi}{2}, \; \overline{\rm AB} = \overline{\rm AC}=2\sqrt{3}\) 인 삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 중심이 점 \(\rm O\) 이고 반지름의 길이가 \(2\) 인 구가 평면 \(\alpha\) 와 점 \(\rm A\) 에서 접한다. 세 직선 \(\rm OA, \; OB, \; OC\) 와 구의 교점 중 평면 \(\alpha\) 까지의 거리가 \(2\) 보다 큰 점을 각각 \(\rm D, \; E, \; F\) 라 하자. 삼각형 \(\rm DEF\) 의 평면 \(\rm OBC\) 위로의 정사영의 넓이를 \(S\) 라 할 때, \(100S^2\) 의 값을 구하시오. 정..
서로 \(60^{\rm o}\) 의 각을 이루는 두 평면 \(\alpha, \; \beta\) 가 만나서 생기는 교선을 \(l\) 이라 하자. \(\alpha\) 위의 점 \(\rm F\) 와 \(\beta\) 위의 점 \(\rm F'\) 에 대하여 \(\rm F\) 를 초점으로 하고 \(l\) 을 준선으로 하는 포물선을 \(p_1\) , \(\rm F'\) 를 초점으로 하고 \(l\) 을 준선으로 하는 포물선을 \(p_2\) 라 하자. 두 점 \(\rm F, \;F'\) 과 \(p_1\) 위의 점 \(\rm A\), \(p_2\) 위의 점 \(\rm B\) 가 다음 조건을 만족시킬 때, 사각형 \(\rm ABF'F\) 의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영의 넓이를 구하시오. \( \left (단,..
그림과 같은 정육면체 \(\rm ABCD-EFGH\) 에서 모서리 \(\rm BF\) 를 \(2:1\) 로 내분하는 점을 \(\rm I\) , 모서리 \(\rm DH\) 를 \(1:2\) 로 내분하는 점을 \(\rm J\) 라 하자. 면 \(\rm IGJ\)와 밑면 \(\rm EFGH\) 가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\) 라 할 때, \(\cos \theta = \dfrac{q}{p}\sqrt{14}\) 이다. 이때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 \(17\)
좌표공간에 있는 원기둥이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 높이는 \(8\) 이다. (나) 한 밑면의 중심은 원점이고 다른 밑면은 평면 \(z=10\) 과 오직 한 점 \((0,\;0,\;10)\) 에서 만난다. 이 원기둥의 한 밑면의 평면 \(z=10\) 위로의 정사영의 넓이는? ① \(\dfrac{139}{4}\pi\) ② \(\dfrac{144}{5}\pi\) ③ \(\dfrac{149}{5}\pi\) ④ \(\dfrac{154}{5}\pi\) ⑤ \(\dfrac{159}{5}\pi\) 정답 ②
같은 평면 위에 있지 않고 서로 평행한 세 직선 \(l, \;m,\;n\) 이 있다. 직선 \(l\) 위의 두 점 \(\rm A, \;B\), 직선 \(m\) 위의 점 \(\rm C\), 직선 \(n\) 위의 점 \(\rm D\) 가 조건을 만족시킨다. (가) \(\overline{\rm AB}=2\sqrt{2},\; \overline{\rm CD}=3\) (나) \(\overline{\rm AC} \bot l, \; \overline{\rm AC}=5\) (다) \(\overline{\rm BD} \bot l, \; \overline{\rm BD}=4\sqrt{2}\) 두 직선 \(m,\;n\) 을 포함하는 평면과 세 점 \(\rm A, \;C,\;D\) 를 포함하는 평면이 이루는 각의 크기를 \(\t..
그림과 같이 평면 \(\alpha\) 위에 점 \(\rm A\) 가 있고, \(\alpha\) 로부터의 거리가 각각 \(1,\;3\) 인 두 점 \(\rm B,\;C\) 가 있다. 선분 \(\rm AC\) 를 \(1:2\) 로 내분하는 점 \(\rm P\) 에 대하여 \(\overline{\rm BP}=4\) 이다. 삼각형 \(\rm ABC\) 의 넓이가 \(9\) 일 때, 삼각형 \(\rm ABC\) 의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영의 넓이를 \(S\) 라 하자. \(S^2\) 의 값을 구하시오. 정답 \(45\)
\(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AD}=2,\; \overline{\rm AE}=3\) 인 직육면체 \(\rm ABCD-EFGH\) 에서 선분 \(\rm AB\) 와 선분 \(\rm CD\) 의 중점을 각각 \(\rm I, \;J\) 라 할 때, 평면 \(\rm EIJH\) 와 평면 \(\rm IFGJ\) 에 대하여 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 평면 \(\rm EIJH\) 와 평면 \(\rm IFGJ\) 가 이루는 예각의 크기는 \(\angle \rm EIF\) 의 크기와 같다. ㄴ. 사각형 \(\rm IFGJ\) 의 평면 \(\rm EIJH\) 위로의 정사영의 넓이는 \(\dfrac{8\sqrt{10}}{5}\) 이다. ㄷ. 선분 \(\rm JF\) 의 평..
좌표공간에서 삼각형 \(\rm ABC\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 삼각형 \(\rm ABC\) 의 넓이는 \(6\) 이다. (나) 삼각형 \(\rm ABC\) 의 \(yz\) 평면 위로의 정사영의 넓이는 \(3\) 이다. 삼각형 \(\rm ABC\) 의 평면 \(x-2y+2z=1\) 위로의 정사영의 넓이의 최댓값은? ① \(2\sqrt{6}+1\) ② \(2\sqrt{2}+3\) ③ \(3\sqrt{5}-1\) ④ \(2\sqrt{5}+1\) ⑤ \(3\sqrt{6}-2\) 정답 ①
그림과 같이 한 모서리의 길이가 \(8\) 인 정팔면체 \(\rm ABCDEF\) 의 모서리 \(\rm AE,\;AB,\;CF,\;DF\) 의 중점을 각각 \(\rm P,\;,Q,\;R,\;S\) 라 할 때, 사각형 \(\rm PQRS\) 의 평면 \(\rm BCDE\) 위로의 정사영의 넓이를 구하시오. 정답 16
좌표공간에 구 \(x^2 +y^2 + z^2 =1\) 이 있다. 이 구 위에 두 점 \( {\rm A} (1,\;0,\;0),\;\; {\rm B} \left ( 0,\; {\displaystyle \frac{1}{\sqrt {2}}},\; -{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\right ) \)에 대하여 \( \overline {\rm AP} = \overline {\rm BP} \) 를 만족하는 점 \( \rm P \) 가 구 \(x^2 +y^2 + z^2 =1\)에 있을 때, 점 \(\rm P\) 가 그리는 자취를 \(xy\) 평면에 정사영 시킨 도형의 넓이를 \(S\) 라고 한다. \(100S\) 의 값을 구하시오. (단, \( \pi =3.14\) 로 계산한다.) 정답..