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목록적분과 통계 (70)
수악중독
아래 그림은 직선 \(y=x\) 와 다항함수 \(y=f(x)\) 의 그래프의 일부이다. 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f'(x)\geq 0\) 이고, \(f(0)=\dfrac{1}{5},\; f(1)=1\) 일 때, 에서 옳은 것을 모두 고른 것은?ㄱ. \(f'(x)=\dfrac{4}{5}\) 인 \(x\) 가 열린구간 \((0,\;1)\) 에 존재한다.ㄴ. \(\displaystyle \int_0 ^1 f(x) dx+ \displaystyle \int _\frac{1}{5} ^1 f^{-1} (x) dx =1\) ㄷ. \(g(x)=(f\circ f)(x)\) 일 때, \(g'(x)=1\) 인 \(x\) 가 열린구간 \((0, \;1)\) 에 존재한다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ..
서로 다른 네 종류의 모자 \(\rm A,\;\;B,\;\;C,\;\;D\) 가 각각 \(3\) 개씩 모두 \(12\) 개 있다. \(12\) 개의 모자를 과 같이 일정한 간격으로 배열된 \(12\) 개의 모자걸이에 각각 걸려고 한다. 이때, 모든 가로 방향과 세로 방향에 서로 다른 종류의 모자가 걸리도록 하려고 한다. 는 이와 같은 방법으로 모자를 건 예이다. 이와 같은 방법으로 \(12\) 개의 모자를 모자걸이에 걸 수 있는 방법의 수를 모두 구하시오. (단, 같은 종류의 모자끼리는 서로 구별하지 않는다.) 정답 \(576\)
연속함수 \(f(x)\) 가 \(f(x)+f(-x)=x^2 -1\) 을 성립시킬 때, \(\displaystyle \int _{-1}^{1} f(x) dx\) 의 값은? ① \(-\dfrac{2}{3}\) ② \(-\dfrac{1}{3}\) ③ \(\dfrac{1}{3}\) ④ \(\dfrac{2}{3}\) ⑤ \(\dfrac{4}{3}\) 정답 ①
다항함수 \(f(x)\) 가 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(-x)=-f(x)\) 를 만족시킨다. 함수 \(g(x)\) 를 \[g(x)=\dfrac{d}{dx} \displaystyle \int _{-\frac{\pi}{2}}^{x} \cos x \cdot f(t) dt\] 라 할 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(g(0)=0\) ㄴ. 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(g(-x)=-g(x)\) 이다.ㄷ. \(g'(x)=0\) 인 실수 \(c\) 가 열린구간 \(\left ( - \dfrac{\pi}{2}, \; \dfrac{\pi}{2} \right ) \) 에서 적어도 두 개 존재한다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤
함수 \(f(x)=\displaystyle \int _0^x \dfrac{1}{a+x^2} dt\)에 대하여 상수 \(a\) 가 \(f(a)=\dfrac{1}{2}\) 을 만족시킬 때, \(\displaystyle \int _0^a \dfrac{e^{f(x)}}{a+x^6} dx \) 의 값은? ① \(\dfrac{\sqrt{e}-1}{2}\) ② \(\sqrt{e}-1\) ③ \( 1 \) ④ \(\dfrac{\sqrt{e}+1}{2}\) ⑤ \(\sqrt{e}+1\) 정답 ②
삼차항의 계수가 각각 \(1, \;2\) 인 두 삼차함수 \(f(x), g(x)\) 및 일차함수 \(y=h(x)\) 의 그래프가 다음과 같다. \(\displaystyle \int _a ^c f(x) dx=-4\), \(\displaystyle \int _b ^c g(x) dx +12=\dfrac{1}{2} (c-b)\{g(b)+g(c)\}\) 일 때, \(y=f(x)\) 의 그래프와 \(x\) 축으로 둘러싸인 두 영역의 넓이의 곱을 구하시오. 정답 12
좌표공간의 \(-1 \le x \le 1\) 인 부분에 입체도형 \(T\) 가 있다. 입체 도형 \(T\) 를 \(x\) 축과 수직인 평면으로 자른 단면은 이 평면이 두 곡선 \(C_1 \;:\; y=1-x^2 ,\;\; z=0\), \(C_2 \;:\; z=1-x^2 ,\;\; y=0\) 및 \(x\) 축과 만나는 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형이다. 입체도형 \(T\) 의 부피를 \(\dfrac{n}{m}\) 이라 할 때, \(m+n\) 의 값을 구하시오. (단, \(m,\;n\) 은 서로소인 자연수이다.) 정답 23
양의 실수에서 정의된 연속함수 \(f(x)\) 가 임의의 양수 \(x\) 에 대하여 \[\displaystyle \int_{x}^{x^2} f(t) dt = \int_{1}^{x} f(t) dt ,\;\;f(1)=1\] 을 만족한다. 이때, \(100 \left \{ f(1)-f(2) \right \}\) 의 값은? ① \(-100\) ② \(-50\) ③ \(1\) ④ \(50\) ⑤ \(100\) 정답 ④
어느 화원에서 신품종의 꽃을 개발하여 이 품종의 씨앗의 발아율을 알아보기 위하여 \(100\) 를 임의추출하여 파종하였더니 그 중 \(60\) 개가 발아하였다. 이 결과를 이용하여 이 품종의 씨앗의 발아율에 대한 신뢰도 \(95\%\) 의 신뢰구간을 구하였더니 \([a,\;b]\) 이었다. 이 품종의 씨앗 \(n\) 개를 임의추출하여 이 품종의 씨앗의 발아율에 대한 신뢰도 \(95\%\) 의 신뢰구간을 구하려고 한다. 이 신뢰구간의 최대 허용 표본오차가 \(\displaystyle \frac{b-a}{4}\) 이하가 되도록 하는 \(n\) 의 최솟값은? (단, \({\rm P} \left ( \left | Z \right | \le 1.96 \right ) = 0.95\) ) ① \(215\) ② \(3..
어떤 두 직업에 종사하는 전체 근로자 중 한 직업에서 표본 \(A\) 를, 또 다른 직업에서 표본 \(B\) 를 추출하여 월급을 조사하였더니 다음과 같은 결과를 얻었다. 표본 표본의 크기 평균 표준편차 신뢰도(%) 모평균의 추정 \[A\] \[n_1\] \[240\] \[12\] \[\alpha\] \[237 \le m \le 243\] \[B\] \[n_2\] \[230\] \[10\] \[\alpha\] \[228 \le m \le 232\](단위는 만원이고, 표본 \(A,\;B\) 의 월급의 분포는 정규분포를 이룬다) 위의 자료에 대한 다음 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. 표본 \(A\) 보다 표본 \(B\) 의 분포가 더 고르다. ㄴ. 표본 \(A\) 의 크기가 표본 \(B\) 의 크기..