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목록여러 가지 수열 (118)
수악중독
그림과 같은 모양의 \(4\) 층 탑을 쌓았을 때, 크기가 같은 \(44\) 개의 정육면체가 필요하였다. 이와 같은 규칙으로 \(10\) 층 탑을 쌓으려고 할 때, 필요한 정육면체의 총 개수를 구하면? ① \(650\) ② \(670\) ③ \(690\) ④ \(710\) ⑤ \(730\) 정답 ②
다음은 \(19\) 세기 초 조선의 유학자 홍길주가 소개한 제곱근을 구하는 계산법의 일부를 재구성한 것이다. \(1\) 보다 큰 자연수 \(p\) 에서 \(1\) 을 뺀 수를 \(p_1\) 이라 한다. \(p_1\) 이 \(2\) 보다 크면 \(p_1\) 에서 \(2\) 을 뺀 수를 \(p_2\) 이라 한다. \(p_2\) 이 \(3\) 보다 크면 \(p_2\) 에서 \(3\) 을 뺀 수를 \(p_3\) 이라 한다. \(\vdots\) \(p_{k-1}\) 이 \(k\) 보다 크면 \(p_{k-1}\) 에서 \(k\) 을 뺀 수를 \(p_k\) 이라 한다. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 수 \(p_n\) 이 \((n+1)\) 보다 작으면 이 과정을 멈춘다. 이때, \(2p_n\) 이 \..
다음 그림은 동심원 \(\rm O_1 ,\;O_2 , \; O_3 ,\; \cdots\) 과 직선 \(l_1 , \;l_2 , \; l_3 ,\; l_4\) 의 교점 위에 자연수를 \(1\) 부터 차례로 적은 것이다. 이미 채워진 수들의 규칙에 따라 계속하여 적어 나가면 \(475\) 는 원 \({\rm O}_m\) 과 직선 \(l_n\) 의 교점 위에 있다. \(m+n\) 의 값을 구하시오. 정답 64
한 변의 길이가 \(1\) 인 정\(n\)각형의 꼭짓점에 못을 박아 놓는다. 실을 한 꼭짓점에 고정시켜 길이가 \(n\) 이 되도록 잡고 한 변의 연장선 방향으로 팽팽하게 당긴 후 실의 끈의 이동거리가 최소가 되도록 정\(n\)각형의 둘레로 한 바퀴 돌릴 때, 실이 움직인 영역의 넓이를 \(S_n\) 이라 하자. 예를 들어, \(S_3\) 는 그림과 같이 정삼각형의 한 꼭짓점에 고정시킨 길이가 \(3\) 인 실을 잡고 정삼각형 둘레로 한 바퀴 돌릴 때 실이 움직인 영역의 넓이를 나타낸다. 이때, \(S_{20}\) 의 값은? (단, 실과 못의 굵기는 고려하지 않는다.) ① \({\displaystyle \frac{287}{2}}\pi\) ② \({\displaystyle \frac{289}{2}}\pi\..
함수 \(y=x^2\) 의 그래프 위에 다음 조건을 만족시키도록 점 \(\rm P_1 , \;P_2 ,\; P_3 , \; \cdots\) 을 차례로 정한다. (가) 점 \(\rm P_1\) 의 좌표는 \((1,\;1)\) 이다. (나) 직선 \({\rm P}_n {\rm P} _{n+1}\) 의 기울기는 \(n\) 이다. (\(n=1,\;2,\;3,\;\cdots \)) 점 \({\rm P}_{2009}\) 의 \(x\) 좌표는? ① \(1001\) ② \(1002\) ③ \(1003\) ④ \(1004\) ⑤ \(1005\) 정답 ⑤
좌표평면에서 자연수 \(n\) 에 대하여 \({\rm A}_n\) 을 \(4\) 개의 점 \[ \left ( n^2 , \; n^2 \right ) ,\;\; \left ( 4n^2 , \; n^2 \right ) ,\;\; \left ( 4n^2 , \; 4n^2 \right ), \;\; \left ( n^2 , \; 4n^2 \right ) \] 을 꼭짓점으로 하는 정사각형이라 하자. 정사각형 \({\rm A}_n\) 과 함수 \(y=k\sqrt{x}\) 의 그래프가 만나도록 하는 자연수 \(k\) 의 개수를 \(a_n\) 이라 할 때, 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(a_5 = 15\) ㄴ. \(a_{n+2} - a_n =7\) ㄷ. \(\sum \limits _{k=1}^{10} a_..
그림과 같이 자연수 \(n\) 에 대하여 \(n\) 개의 항 \[ \left [ \frac{n}{1} \right ],\; \left [ \frac{n}{2} \right ],\; \left [ \frac{n}{3} \right ],\;\cdots ,\; \left [ \frac{n}{n} \right ] \] 이 \(n\) 행에 \(1\) 열부터 \(n\) 열까지 차례로 나열되어 있다. (단, \([x]\) 는 \(x\) 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) 다음 중 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(n\) 행에서 그 값이 \(1\) 인 항은 \(\left [ {\displaystyle \frac{n+1}{2}} \right ]\) 개이다. ㄴ. \(100\) 행에서 그 값이 \(3\) 인 항은 \(..
수열 \(\{a_n\}\) 을 다음과 같이 정의한다. \[a_1 = 1,\;\; a_{2n} = a_n +1 , \;\; a_{2n+1} = a_n -1\;\;\;(n=1,\;2,\;3,\; \cdots )\] 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(a_6 =1\) ㄴ. \(n=2^k \) (\(k\) 는 자연수) 이면 \(a_n =k+1\) 이다. ㄷ. \(n=2^k +1\) (\(k\) 는 자연수) 이면 \(a_n = k-1\) 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤
그림과 같이 쇠구슬과 막대자석을 이용하여 육각기둥 모양을 \(1\) 개 만드는 데 필요한 막대자석의 개수를 \(a_1\) , 육각기둥 모양을 \(3\) 개 만드는 데 필요한 막대자석의 개수를 \(a_2\) , 육각기둥 모양을 \(6\) 개 만드는 데 필요한 막대자석의 개수를 \(a_3\), \(\cdots\) 이와 같은 과정을 계속하하였을 때, \(a_{10}\) 의 값은? ① \(530\) ② \(531\) ③ \(532\) ④ \(533\) ⑤ \(534\) 정답 ②
그림과 같이 \(\overline {\rm AC} = 15,\;\; \overline{\rm BC} =20 \) 이고, \(\angle {\rm C}= 90^o\) 인 직각삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 변 \(\rm AB\) 를 \(25\) 등분하는 점 \(\rm P_1 ,\;P_2 ,\; \cdots , \; P_{24}\) 를 지나 변 \(\rm AB\) 에 수직인 직선을 그어 변 \(\rm AC\) 또는 변 \(\rm CB\) 와 만나는 점을 각각 \(\rm Q_1 , \;Q_2 . \; \cdots , \; Q_{24}\) 라 하자. \(\overline {\rm P_1 Q_1} + \overline {\rm P_2 Q_2} + \overline {\rm P_3 Q_3} + \cdots ..