수악중독

자연수 \( N \) 에 대하여 수열 \( \{a_n\} \) 을 \( a_n = n (n+1)(n+2) \cdots (n + N - 1 ) \) 이라 하자. 모든 자연수 \( n \) 에 대하여 \( \sum\limits_{k = 1}^n a_k = \dfrac{N+n}{N+1}a_n \; \cdots \cdots \cdots \) (★) 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. (1) \(n=1\)일 때, \( (좌변)=\sum\limits_{k = 1}^1 a_k = a_1 = (가) \) \( (우변)=\dfrac{N+1}{N+1}a_1 = a_1 = (가) \) 이므로 (★)이 성립한다. (2) \( n=m \) 일 때, (★)이 성립한다고 가정하면 \( \sum\limits_{k = 1}^..

다음은 \( n \geq 2 \) 인 모든 자연수 \( n \) 에 대하여 \( \left( 1 + \dfrac{1}{1^3} \right) \left( 1 + \dfrac{1}{2^3} \right) \left ( 1 + \dfrac{1}{3^3} \right) \cdots \left( 1 + \dfrac{1}{n^3} \right) < 3 - \dfrac{1}{n} \;\ \cdots \; \) ㉠ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정이다. (i) \( n=2 \) 일 때 \( (좌변) = \left( 1 + \dfrac{1}{1^3} \right) \left( 1 + \dfrac{1}{2^3} \right) = \dfrac{9}{4} , \; (우변) = 3 - \dfrac{1}{2} = \..

다음은 \( n \) 부터 \( 2n -1 \) 개의 연속한 자연수의 합에 대하여 \( n + ( n + 1 ) + ( n + 2 ) + \cdots + ( 3n-2 ) = (2n-1)^2 \) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. i) \( n=1 \) 일 때 , \( (좌변)=1 , \; (우변)=1^2 \) 이므로 성립한다. ii) \( n=k \)일 때, 성립한다고 가정하면 \( k + (k+1) + (k + 2) + \cdots + (3k-2) = (2k-1) ^2 \) \( n=k+1 \) 일 때 성립함을 보이자. \( (k+1)+(k+2)+\cdots+(가) \) \( =k+(k+1)+(k+2)+\cdots+(3k-2)+(나)\) \( =(2k-1)^2 + (나) \) \( =(다)..

다음은 수열 \( \{a_n \} \) 에서 일반항 \( a_n \) 이 \( a_n = \sum\limits_{k = 1}^n \dfrac{1}{k} \) 일 때, \( n \geq 2 \) 인 모든 자연수에 \( n \) 에 대하여 \( n + a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1} = n a_n \) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정이다. i) \( n =2 \) 일 때, \( (좌변)=2+ \dfrac{1}{1} = 3 , \; (우변) = 2 \left( 1 + \dfrac{1}{2} \right) = 3 \) 이므로, 주어진 식이 성립한다. ii) \(n=k \; ( k \geq 2 ) \) 일 때, 주어진 식이 성립한다고 가정하면 \( k + a_1 + a_2 + \c..

다음은 모든 자연수 \( n \) 에 대하여 부등식 \( 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{n} \geq 2 \left\{ \dfrac{1}{1 \cdot 2 } + \dfrac{1}{2\cdot 3 } + \cdots + \dfrac {1}{n(n+1)} \right\} \) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정이다. (i) \( n=1 \) 일 때, \( (좌변)=1 \geq 2 \times \dfrac {1}{1 \cdot 2 } = (우변) \) 이므로 주어진 부등식은 성립한다. (ii) \( n=k \; (k \geq 1 ) \) 일 때, 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면 \( 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{k} \..

수열 \(\{a_n\}\) 이 \[T_n=2a_1 +3a_2 + \cdots + (n+1)a_n = \dfrac{n}{2n+4}\;\;(n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\] 을 만족할 때, 다음은 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \[\sum \limits_{k=1}^{n} a_k = \sum \limits_{k=1}^{n} \dfrac{1}{(k+1)^2}-T_n\;\; \cdots \cdots (★)\] 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. (i) \(n=1\) 일 때, 좌변 \(=a_1 = \;\;(가)\) 우변 \(=\dfrac{1}{(1+1)^2}-T_1 = \;\;(가)\) 이므로 \((★)\)이 성립한다. (ii) \(n=m\) 일 때 \((★)\) 이 성립한다고 가정하면 \[\..

다음은 모든 자여연수 \(n\) 에 대하여 \[\sum \limits _{k=1}^{n} (5k-3) \left ( \dfrac{1}{k} +\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2}+\cdots +\dfrac{1}{n} \right ) = \dfrac{n(5n+3)}{4}\] 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (1) \(n=1\) 일 때, (좌변)=\(2\), (우변)=\(2\) 이므로 주어진 등식은 성립한다. (2) \(n=m\) 일 때 성립한다고 가정하면 \[\sum \limits _{k=1}^{m} (5k-3) \left ( \dfrac{1}{k} +\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2}+\cdots +\dfrac{1}{m} \right ) = \dfrac{m..

\(2\) 이상의 자연수 \(n\) 에 대하여 부등식 \(\left ( 1+ {\displaystyle \frac{1}{n}} \right ) ^n >2\) 가 성립함이 알려져 있다. 다음은 이 사실을 이용하여 \(n\) 이 \(6\) 이상의 자연수일 때, 부등식 \(\left ( {\displaystyle \frac{n}{2}} \right ) >n!\) 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. (단, \(n!=1\times 2 \times 3 \times \cdots \times n\)) (i) \(n=6\) 일 때 \(3^6 = 729,\;\; 6!=720\) 이므로 성립한다. (ii) \(n=k\;\;(k\ge 6)\) 일 때 성립한다고 가정하면 \(\left ( {\displaystyle \..

다음은 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(_n{{\rm{C}}_1} + 2{ \cdot _n}{{\rm{C}}_2} + 3{ \cdot _n}{{\rm{C}}_3} + \cdots + n{ \cdot _n}{{\rm{C}}_n} = n \cdot {2^{n - 1}}\) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (i) \(n=1\) 일 때, (좌변)\({ = _1}{{\rm{C}}_1} = 1\), (우변)\(=2^0 =1\) 이므로 주어진 등식은 성립한다. (ii) \(n=k\) 일 때, 주어진 식이 성립한다고 가정하면 \[_k{{\rm{C}}_1} + 2{ \cdot _k}{{\rm{C}}_2} + 3{ \cdot _k}{{\rm{C}}_3} + \cdots + k{ \cdot _k}{{\r..

\(n\ge 2\) 인 모든 자연수 \(n\) 에 대하여\[\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{4}} \right)\left( {1 - \frac{1}{8}} \right) \cdots \left( {1 - \frac{1}{{{2^n}}}} \right) > 1 - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{{{2^n}}}} \right)\] 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (1) \(n=2\) 일 때, \({\dfrac{3}{8}} > (가) \) 이므로 주어진 부등식은 성립한다. (2) \(n=k\;\;(k\ge 2)\) 일 때, \[\left( {1..