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목록수열의 극한 (156)
수악중독
자연수 \(n\) 에 대하여 점 \({\rm A}_n\) 이 함수 \(y=4^x\) 의 그래프 위의 점을 때, 점 \({\rm A}_{n+1}\) 을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) 점 \({\rm A}_1\) 의 좌표는 \((a, \; 4^a )\) 이다. (나) (1) 점 \({\rm A}_n\) 을 지나고 \(x\) 축에 평행한 직선이 직선 \(y=2x\) 와 만나는 점을 \({\rm P}_n\) 이라 한다. (2) 점 \({\rm P}_n\) 을 지나고 \(y\) 축에 평행한 직선이 곡선 \(y=\log _4 x\) 와 만나는 점을 \({\rm B}_n\) 이라 한다. (3) 점 \({\rm B}_n\) 을 지나고 \(x\) 축에 평행한 직선이 직선 \(y=2x\) 와 만나는 점을 \({\rm ..
한 변의 길이가 \(1\) 인 정삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 변 \(\rm BC\) 위에 양 끝점이 아닌 한 점 \(\rm P_0\) 를 잡는다. 그림과 같이 \(\rm P_0\) 을 지나고 변 \(\rm AB\) 와 평행한 직선을 그어 변 \(\rm AC\) 와 만나는 점을 \(\rm P_1\) , 점 \(\rm P_1\) 을 지나고 변 \(\rm BC\) 와 평행한 직선을 그어 변 \(\rm AB\) 와 만나는 점을 \(\rm P_2\), 점 \(\rm P_2\) 를 지나고 변 \(\rm AC\) 와 평행한 직선을 그어 변 \(\rm BC\) 와 만나는 점을 \(\rm P_3\) 이라 하자.이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 점을 \(\rm P_{\it n}\) 이라 하고, 점..
\(2\) 이상의 자연수 \(n\) 에 대하여 함수 \(y=\log_3 x\) 의 그래프 위의 \(x\) 좌표가 \(\dfrac{1}{n}\) 인 점을 \({\rm A}_n\) 이라 하자. 그래프 위의 점 \({\rm B}_n\) 과 \(x\) 축 위의 점 \({\rm C}_n\) 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) \({\rm C}_n\) 은 선분 \({\rm A}_n {\rm B}_n\) 과 \(x\) 축의 교점이다.(나) \(\overline{{\rm A}_n {\rm B}_n}\;:\; \overline{{\rm C}_n {\rm B}_n} = 1:2\) 점 \({\rm C}_n\) 의 \(x\) 좌표를 \(x_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac..
모든 항이 양수인 수열 \( \{ a_n \} \) 이 \( \lim \limits_{n \to \infty } (\sqrt {a_n + n} - \sqrt n ) = 5\) 를 만족시킬 때, \( \lim \limits_{n \to \infty } \dfrac{a_n}{\sqrt{n}}\) 의 값을 구하시오. 정답 10
자연수 \( n \) 에 대하여 함수 \( y = {\rm log} _ c | x | \) 의 그래프와 직선 \( y =n \) 의 교점의 \( x \) 좌표를 각각 \( a_n , \; b_n \; ( a_n > b_n ) \) 이라 할 때, 수열 \( \{ a_n \} , \; \{ b_n \} \) 에 대하여 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? (4점) ㄱ. \( a_n + b_n = 0 \) ㄴ. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } b_n = 0 \) 이면 \(\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n = \dfrac{c}{1-c}\) ㄷ. \(\sum\limits_{n = 1}^\infty \dfrac{1}{b_n}\) 이 발산하면 \(\s..
수열 \(\{x_n \} \) 과 원 \(C_n\) 이 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(x_1 =1,\; x_{n+1} = x_n +p^n \) (\(p\) 는 \(0
\( a_1 = 1\)이고 모든 자연수 \( n \) 에 대하여 \( a_n < a_{n+1} \) 인 수열 \( \{a_n\}\)이 있다. 곡선 \( y=x^2 \) 과 \(x\)축 및 두 직선 \( x=a_n , \; x=a_{n+1} \) 로 둘러싸인 도형의 넓이가 \( 14 \left( \dfrac{1}{3} \right)^{n-1} \) 일 때, \( \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } a_n \)의 값은? ① \( 5 \sqrt[3]{5}\) ② \( 4 \sqrt[3]{4} \) ③ \(3 \sqrt[3]{3}\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ④
수열 \(\{a_n\}\) 은 다음과 같이 자연수 \(1\) 이 \(1\) 개, \(2\) 가 \(2\) 개, \(\cdots\), \(n\) 이 \(n\) 개가 나열되는 수열이다.\(\{a_n\} \;:\; 1,\;2,\;2,\;3,\;3,\;3,\;4,\;4,\;4,\;4,\;\cdots\) \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{\sqrt{n}} \) 의 값은? ① \(1\) ② \(\sqrt{2}\) ③ \(2\) ④ \(2\sqrt{2}\) ⑤ \(4\) 정답 ②
그림과 같이 반지름의 길이가 \(2\sqrt{3}\) 이고 \(\angle {\rm A}_1 {\rm O}{\rm B}_1 = 60 ^o\) 인 부채꼴 \(\rm A_1 O B_1\) 이 있다. 세 점 \(\rm A_1 ,\;O,\;B_1\) 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 \(\rm A_1 OB_1\) 의 무게중심을 \(\rm C_1\) 이라 할 때, 두 선분 \(\rm A_1 C_1 ,\;B_1 C_1\) 과 호 \(\rm A_1 B_1\) 으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_1\) 이라 하자. 점 \(\rm O\) 를 중심으로 하고 점 \(\rm C_1\) 을 지나는 원이 두 선분 \(\rm OA_1 ,\; OB_1\) 과 만나는 점을 각각 \(\rm A_2 , \; B_2\) 라 하자. 세 점 \(\r..
그림과 같이 중심이 \({\rm A}(1,\;0)\) 이고 반지름의 길이가 \(1\) 인 원 위의 점 \({\rm P}_n\) 과 \(x\) 축 위의 점 \({\rm Q}_n\) 은 다음 규칙을 만족한다. (가) 점 \({\rm P}_0\) 은 원점이고, 점 \({\rm P}_n\) 은 제 \(1\) 사분면의 점이다. (나) 호 \({\rm P}_{n-1}{\rm P}_n\) 의 길이를 \(l_n\) 이라 할 때, \(l_{n+1}=rl_n\) 이다. (다) 점 \({\rm Q}_n\) 은 점 \({\rm B}(0,\;2)\) 와 점 \({\rm P}_n\) 을 이은 직선이 \(x\) 축과 만나는 점이다. \({\rm Q}_2 (2,\;0)\) 이고 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} ..