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목록수열 (53)
수악중독
자연수 \(n\) 에 대하여 \(n^2\) 을 \(5\) 로 나눈 나머지를 \(a_n\) 이라 하자. 이 때, 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(a_4 =1\) ㄴ. \(a_n =2\) 인 자연수 \(n\) 은 존재하지 않는다. ㄷ. \(5\) 로 나눈 나머지가 서로 다른 두 자연수 \(p,\;q\) 에 대하여 \(a_p +a_q =2\) 이면 \(p+q\) 는 \(5\) 의 배수이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤
증가수열 \(1,\;5,\;6,\;25,\;26,\;30,\;31,\;125,\; \cdots\) 은 모두 \(1\) 과 \(5\) 의 거듭제곱 또는 \(1\) 과 두 개 이상의 서로 다른 유한개의 \(5\) 의 거듭제곱의 합으로 이루어져 있다. 이 수열을 \(\{a_n\}\) 이라 할 때, 다음 중 옳은 것을 모두 고르시오. ㄱ. 자연수 \(k\) 에 대하여 \(n=2^k\) 이면 \(a_n =5^k\) 이다. ㄴ. 임의의 자연수 \(n\) 에 대하여 \(a_{2n} = 5a_n \) 이다. ㄷ. \(a_1 +a_2 + \cdots +a_{31} = 5^4 \left ( 5^4 +5^3 +5^2 +5+1 \right ) \) 정답 ㄱ, ㄴ
첫 째항이 \(1\), 공차가 \(d\) 인 등차수열 \(\{a_n\}\) 이 있다. 첫 째항부터 제 \(n\) 항까지의 합을 \(S_n\), 제 \((n+1)\) 항부터 제 \(3n\) 항까지의 합을 \(T_n\) 이라 할 때, 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(T_n =2n(a_{n+1} + a_{3n} ) \) ㄴ. \(d=0 \) 이면 \({\dfrac{T_n}{S_n}} =2\) ㄷ. \({\dfrac{T_n}{S_n}} = 8 \) 이면 \(d=2\) ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ 정답 ⑤
자연수 \(m\) 부터 연속한 \(n\) 개의 자연수의 합을 \(S(m,\;n)\) 이라 할 때, 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, \(n \ne 1\) ) ㄱ. \(S(5,\;5) =35\) ㄴ. \(S(m,\;n) =55\) 이면 \(n=10\) 이다. ㄷ. \(p\) 는 \(2\) 가 아닌 소수일 때, \(S(m,\;n)=p\) 이면 \(n=2\) 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③
수열 \(\{ a_n \}\) 에서 \[a_n = 1 + { \frac {1}{2}} + { \frac{1}{3}} + \cdots + { \frac {1}{n}}\;\;\;\; (n=1, \; 2, \; 3,\; \cdots ) \] 일 때, \(30a_{30} - (a_1 +a_2 +a_3 + \cdots + a_{29} ) \) 의 값을 구하시오. 정답 30
모래시계 \(A,\;B,\;C\) 에 들어 있는 모래의 양은 각각 \(3^a \;, 9^b ,\; 27^c\) 이고 매 초당 모래가 위에서 아래로 일정하게 떨어지는 양은 각각 \(a, \; b,\; c\) 이다. \(a, \; b,\; c\) 는 이 순서대로 등비수열을 이루고, \(3^a ,\; 9^b ,\; 27^c\) 도 이 순서대로 등비수열을 이루며, 두 수열의 공비는 같다. 모래시계 \(A,\;B,\;C\) 로 잴 수 있는 시간(초)을 각각 \(t_A , \; t_B ,\; t_C\) 라 할 때, \(t_A +t_B +t_C\) 의 값을 구하시오. (단, 모래가 다 떨어진 후 뒤집지 않는다.) 정답 27
서로 다른 두 실수 \(a, \; b\) 에 대하여 \(2,\;\; {\dfrac{a^2}{2}}, \;\; b\) 가 이 순서대로 등차수열을 이루고 \(a+2, \;\; b,\;\;1\) 이 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, \(a^2 +b^2\) 의 값은? ① \(3\) ② \(4\) ③ \(5\) ④ \(6\) ⑤ \(7\) 정답 ①
다음과 같이 정사각형에 대각선을 각각 하나씩 그어 [도형 1]과 [도형 2]를 만든다. [도형 1]과 [도형 2]를 번갈아 가며 계속 붙여 아래 그림과 같은 도형을 만든다. 그림과 같이 처음으로 붙여지는 [도형 1]의 왼쪽 아래 꼭짓점을 \(\rm P\) 라 하고, [도형 1]의 개수와 [도형 2]의 개수를 합하여 \(n\) 개 붙여 만든 도형에서 가장 오른쪽 대각선의 끝점을 \({\rm A}_n\) 이라고 하자. 지나온 선분으로 되돌아 갈 수 없고, 오른쪽 또는 위, 아래, 대각선으로만 움직인다. 꼭짓점 \(\rm P\) 에서 \({\rm A}_1 , \;{\rm A}_2 , \;{\rm A}_3 ,\; \cdots , \; {\rm A}_{n-1} \) 을 거쳐서 \({\rm A}_n\) 까지 도착하..
\(a_n , \; b_n ,\; s_n , \; t_n \) 에 대해 다음과 같이 정의하였다. 적용하는 연이율 \(r\) 는 모두 같고, 연복리로 계산한다고 할 때, 다음 중 옳지 않은 것은? \(a_n\) : 금년 초부터 매년 초 \(1\) 원씩 \(n\) 회 지급되는 연금의 금년 초에 받을 수 있는 일시금 \(b_n\) : 금년 말부터 매년 말 \(1\) 원씩 \(n\) 회 지급되는 연금의 금년 초에 받을 수 있는 일시금 \(s_n\) : 금년 초부터 매년 초 \(1\) 원씩 \(n\) 회 적립하는 적금의 \(n\) 년 후 원리합계 \(t_n\) : 금년 말부터 매년 말 \(1\) 원씩 \(n\) 회 적립하는 적금의 \(n\) 년 후 원리합계 ① \(a_n = b_{n-1} +1\;\;(n \ge ..