일 | 월 | 화 | 수 | 목 | 금 | 토 |
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | |||||
3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 |
24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
31 |
- 정적분
- 수학질문
- 수학질문답변
- 행렬
- 수학2
- 수능저격
- 미분
- 수열의 극한
- 수학1
- 중복조합
- 함수의 극한
- 수악중독
- 이차곡선
- 함수의 그래프와 미분
- 접선의 방정식
- 적분
- 적분과 통계
- 경우의 수
- 기하와 벡터
- 수열
- 행렬과 그래프
- 로그함수의 그래프
- 함수의 연속
- 심화미적
- 미적분과 통계기본
- 도형과 무한등비급수
- 여러 가지 수열
- 이정근
- 확률
- 수만휘 교과서
- Today
- Total
목록극한의 활용 (41)
수악중독
그림과 같이 사다리꼴 \(\rm ABCD\) 에서 변 \(\rm AD\) 와 변 \(\rm BC\) 가 평행하고 \(\angle \rm B=2\theta,\; \angle \rm C=3\theta, \; \overline{\rm BC}=2\sin \theta, \; \overline{\rm AD}=\sin \theta\) 이다. 사다리꼴 \(\rm ABCD\) 의 넓이를 \(S(\theta)\) 라 할 때, \(\lim \limits_{\theta \to +0} \dfrac{S(\theta)}{\theta ^3}=\dfrac{q}{p}\) 이다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. \( \left ( 단, \; 0
그림과 같이 반지름의 길이가 \(3\) 이고 \(\angle \rm AOB = \dfrac{\pi}{3}\) 인 부채꼴 \(\rm AOB\) 에 내접하는 원을 \(\rm O'\) 이라 하자. 호 \(\rm AB\) 위의 한 점 \(\rm C\) 에 대하여 \(\angle \rm COB=\theta \; \left ( 0 < \theta < \dfrac{\pi}{3} \right )\) 일 때, 원 \(\rm O'\) 과 \(\overline{\rm OC}\) 가 만나는 두 점을 \(\rm P,\;Q\) 라 하고, 부채꼴 \(\rm COB\) 의 넓이를 \(S(\theta)\) 라 하자. \(\lim \limits_{\theta \to 0} \dfrac{\overline{\rm PQ}^2}{S(\theta..
자연수 \(n\) 에 대하여 두 점 \({\rm P}_{n-1}, \; {\rm P}_n\) 이 함수 \(y=x^2\) 의 그래프 위의 점일 떄, 점 \({\rm P}_{n+1}\) 을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) 두 점 \({\rm P}_0, \; \rm P_1\) 의 좌표는 각각 \((0, \;0),\;(1, \;1)\) 이다. (나) 점 \({\rm P}_{n+1}\) 은 점 \({\rm P}_n\) 을 지나고 직선 \({\rm P}_{n-1} {\rm P}_n\) 에 수직인 직선과 함수 \(y=x^2\) 의 그래프의 교점이다. (단, \({\rm P}_n\) 과 \({\rm P}_{n+1}\) 은 서로 다른 점이다.) \(l_n = \overline{{\rm P}_{n-1} {\rm P}_n..
\(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}=1\) 인 이등변삼각형 \(\rm ABC\) 에 대하여 \(\angle {\rm BAC}= \theta \; \left ( 0 < \theta < \dfrac{\pi}{2} \right )\) 라 하자. 점 \(\rm B\) 를 중심으로 하고 점 \(\rm A\) 를 지나는 원을 \(C_1\), 점 \(\rm C\) 를 중심으로 하고 점 \(\rm A\) 를 지나는 원을 \(C_2\) 라 할 때, \(C_1, \;C_2\) 각각에서 두 원이 겹치는 부분을 제외하여 얻어지는 두 부분의 넓이의 합을 \(S(\theta)\) 라 하자. \(\lim \limits_{\theta \to +0} \dfrac{S(\theta)}{\theta}=\al..
그림과 같이 곡선 \()y=x^2\) 위의 점 \({\rm P} \left ( 2a, \; 4a^2 \right ) \) 에서의 접선 \(l\) 이 \(x\) 축과 만나는 점을 \(\rm A\) 라 하고, 점 \(\rm A\) 를 지나고 접선 \(l\) 에 수직인 직선이 \(y\) 축과 만나는 점을 \(\rm B\) 라 하자. 삼각형 \(\rm OAB\) 에 내접하는 원의 반지름의 길이를 \(r(a)\) 라 할 때, \(\lim \limits_{a \to \infty} r(a)\) 의 값은? (단, \(a>0, \; \rm O\) 는 원점이다.) ① \(\dfrac{\sqrt{3}}{6}\) ② \(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\) ③ \(\dfrac{1}{8}\) ④ \(\dfrac{1}{6}\)..
그림과 같이 두 곡선 \(y=ax^2 \; (a>0),\;\; y= \ln (2x+1)\) 이 제\(1\)사분면에서 만나는 점을 \(\rm A\) 라 하자. 원점 \(\rm O\) 와 두 점 \({\rm B} (1, \;0), \; {\rm C}(0,\;1) \) 에 대하여 삼각형 \(\rm OAB\) 의 넓이를 \(S_1\), 삼각형 \(\rm OAC\) 의 넓이를 \(S_2\) 라 하자. \(a\) 의 값이 한없이 커질 때, \(\dfrac{S_1}{S_2}\) 의 값은 \(\alpha\) 에 한없이 가까워진다. \(\alpha\) 의 값은? ① \(\dfrac{1}{e}\) ② \(\dfrac{1}{2}\) ③ \(1\) ④ \(2\) ⑤ \(e\) 정답 ④
두 함수 \(f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2x^{2n+2}+1}{x^{2n}+2},\;\; g(x)=\sin (k\pi x)\) 에 대하여 방정식 \(f(x)=g(x)\) 가 실근을 갖지 않을 때, \(60k\) 의 최댓값을 구하시오. 정답 \(10\) \(\sin (k \pi) \leq \dfrac{1}{2}\) 를 만족하는 \(k\) 가 \(\dfrac{5}{6}\) 가 될 수는 없냐고 질문한 분이 계셔서 추가 내용 올립니다. 아래 그림처럼 \(k=\dfrac{5}{6}\) 이 되면 \(x=1\) 에서의 함숫값은 \(\dfrac{1}{2}\) 보다 작아지지만 그 전에 이미 \(y=f(x)\) 와 교점을 갖기 때문에 조건에 맞지 않습니다.
\(\overline{\rm AB}=1, \; \angle {\rm A}=2 \theta, \; \angle {\rm C}= \theta \; \left ( 0< \theta < \dfrac{\pi}{6} \right )\) 인 삼각형 \(\rm ABC\) 에 대하여 선분 \(\rm AB\) 의 연장선 위의 점 \(\rm O\) 를 중심으로 하고 두 점 \(\rm B, \;C\) 를 지나는 반원을 그린다. 직선 \(\rm AC\) 가 반원과 만나는 점 중에서 \(\rm C\) 가 아닌 점을 \(\rm P\) 라 할 때, \(\rm P\) 와 직선 \(\rm BC\) 사이의 거리를 \(l(\theta)\) 라 하자. \[ \lim \limits_{\theta \to \frac{\pi}{6} -0} \lef..
중심이 \(\rm O\) 이고, 두 점 \(\rm A, \; B\) 를 지름의 양 끝으로 하며 반지름의 길이가 \(1\) 인 원 \(C\) 가 있다. 그림과 같이 원 \(C\) 위의 점 \(\rm P\) 에 대하여 점 \(\rm O\) 를 지나고 직선 \(\rm AP\) 와 평행한 직선이 선분 \(\rm PB\) 와 만나는 점을 \(\rm Q\), 호 \(\rm PB\) 와 만나는 점을 \(\rm R\) 라 하자. \(\angle \rm PAB= \theta \;\; \left (0 < \theta < \dfrac{\pi}{2} \right )\) 라 하고, 점 \(\rm Q\) 와 점 \(\rm R\) 를 지름의 양 끝으로 하는 원의 넓이를 \(S(\theta)\) 라 할 때, \(\lim \limit..
반지름의 길이가 \(1\) 이고, 중심각의 크기가 \(\dfrac{\pi}{3}\) 인 부채꼴 \(\rm OAB\) 가 있다. 그림과 같이 선분 \(\rm OA\) 위의 점 \(\rm S\), 선분 \(\rm OB\) 위의 점 \(\rm R\) 와 호 \(\rm AB\) 위의 두 점 \(\rm P, \; Q\) 에 대하여 사각형 \(\rm PQRS\) 가 직사각형을 이룬다고 한다. \(\angle \rm AOP = \theta\) 라 할 때, 직사각형 \(\rm PQRS\) 의 넓이를 \(T(\theta)\) 라 하자. \(\lim \limits_{\theta \to +0} \dfrac{T(\theta)}{\theta}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(2\)