수악중독

그림과 같이 중심이 \(\rm O\) 이고, 반지름의 길이가 \(1\) 인 원이 있다. 원의 중심으로부터 거리가 \(2\) 인 점 \(\rm A\) 에서 원과 서로 다른 두 점에서 각각 만나도록 그은 두 직선이 이루는 각의 크기가 \(\dfrac{\pi}{6}\) 로 일정하다. 원의 중심 \(\rm O\) 에서 두 직선까지의 거리를 각각 \(l,\;m\) 이라 할 때, \(2l^2+m^2\) 의 최솟값은 \(p+q\sqrt{7}\) 이다. \(30(p+q)\) 의 값을 구하시오. (단, \(p, \;q\) 는 유리수이다.) 정답 \(120\)

두 도시 \(\rm A, \; B\) 는 \(60 \rm km\) 떨어져 있고, 도시 \(\rm O\) 는 두 도시의 중간 지점에 있다. 신도시의 위치를 도시 \(\rm O\) 에서 \(30 \rm km\) 떨어진 지점에 정한 후, 신도시와 도시 \(\rm A\) 사이에는 \(2\) 차로 직선 도로를 , 신도시와 도시 \(\rm B\) 사이에는 \(4\) 차로 직선 도로를 건설하려고 한다. \(2\) 차로 도로는 \(\rm km\) 당 \(6\) 억 원, \(4\) 차로 도로는 \(\rm km\) 당 \(8\) 억 원의 공사비가 소요된다. 공사비가 최대가 되는 신도시의 위치를 \(\rm P\) 라 하고, \(\angle \rm PAB= \theta\) 라 할 때, \(\tan \theta\) 의 값은? ..