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목록함수의 그래프와 미분 (43)
수악중독
방정식 $x+ \tan x=0$ 의 해 중에서 최소의 양수를 $\alpha$ 라 할 때, 함수 $f(x)$를 $$f(x) = \left \{ \begin{array}{cl} \dfrac{\sin x}{\sin x + x \cos x} & (0
양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = \dfrac{a \ln x}{x}$ 가 있다. 곡선 $y=f(x)$ 에 접하는 직선 중 $y$ 절편이 최대인 직선을 $l$ 이라 할 때, 직선 $l$ 의 기울기가 $-1$ 이다. 곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $l$ 및 $x$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 $\dfrac{q}{p}e^3$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 는 양수이고, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $31$
$x>a$ 에서 정의된 함수 $f(x)$ 와 최고차항의 계수가 $-1$ 인 사차함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (단, $a$ 는 상수이다.) (가) $x>a$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $(x-a)f(x)=g(x)$ 이다.(나) 서로 다른 두 실수 $\alpha, \; \beta$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 는 $x= \alpha$ 와 $x=\beta$에서 동일한 극댓값 $M$ 을 갖는다. (단, $M>0$)(다) 함수 $f(x)$ 가 극대 또는 극소가 되는 $x$ 의 개수는 함수 $g(x)$ 가 극대 또는 극소가 되는 $x$ 의 개수보다 많다. $\beta - \alpha = 6 \sqrt{3}$ 일 때, $M$ 의 최솟값을 구하시오. 정답 $216$
함수 $f(x)=\left (x^2+2x \right ) e^{-x}$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(t, \; f(t))$ 에서의 접선의 방정식을 $y=g(x)$ 라 할 때, 함수 $h(x)$ 를 $h(x)=|f(x)-g(x)|$ 라 하자. 함수 $h(x)$ 가 한 점에서만 미분가능하지 않도록 하는 실수 $t$ 의 값을 집합으로 나타내면 $\{ t \; | \; a
사차함수 $f(x)$의 도함수 $y=f'(x)$ 의 그래프가 그림과 같고, $f' \left ( -\sqrt{2} \right ) = f'(0)=f' \left ( \sqrt{2} \right ) =0$ 이다. $f(0)=1$, $f\left (\sqrt{2} \right )=-3$ 일 때, $f(m)f(m+1)
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)=f(-x)$ 이다.(나) 모든 양의 실수 $x$ 에 대하여 $f'(x)>0$ 이다.(다) $\lim \limits_{x \to 0} f(x)=0, \;\; \lim \limits_{x \to \infty} f(x)= \pi$ 함수 $g(x)=\dfrac{\sin f(x)}{x}$ 에 대하여 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 모든 양의 실수 $x$ 에 대하여 $g(x)+g(-x)=0$ 이다.ㄴ. $\lim \limits_{x \to 0} g(x) = 0$ㄷ. $f(\alpha) = \dfrac{\pi}{2} \;(\alpha>0)$ 이면 방정식 $|g(x)|=\dfrac..
그림과 같이 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$ 의 도함수 $f'(x)$ 와 함수 $g(x) = \left \{ \begin{array}{rc} -ax^2 & (x 0$ 이고, $f'(0)=-1$ 이다. ㄱ. 함수 $h(x)$ 는 $x=3$ 에서 극솟값을 갖는다.ㄴ. $h(-3)h(3)
좌표평면에서 함수 $f(x)=(\ln x)^2- \ln x$ 에 대하여 원점과 곡선 $ y=f(x)$ 위의 점 $\left ( t, \; f(t) \right )$ 를 이은 직선이 이 곡선과 만나는 점의 개수를 $g(t)$ 라 하자. 함수 $g(t)$ 가 $t=a_1$, $t=a_2$, $t=a_3$, $t=a_4$, $t=a_5$ $(a_1
그림과 같이 두 삼차함수 $f(x), \; g(x)$ 의 도함수 $y=f'(x), \; y=g'(x)$ 의 그래프가 만나는 서로 다른 두 점의 $x$ 좌표는 $a, \;b\; (0