수악중독

좌표공간에서 평면 $\alpha \; : \; \sqrt{3}x + \sqrt{3}y + \sqrt{2}z=6 \sqrt{6}$ 위의 두 점 $\rm P, \; Q$ 와 원점 $\rm O$ 에 대하여 삼각형 $\rm OPQ$ 는 한 변의 길이가 $4\sqrt{3}$ 인 정삼각형이다. 점 $\rm P$ 가 $xy$ 평면과 평면 $\alpha$ 가 만나서 생기는 교선 위에 있을 때, 삼각형 $\rm OPQ$ 의 $xy$ 평면 위로의 정사영의 넓이는? (단, 점 $\rm Q$ 는 $xy$ 평면 위에 있지 않다.) ① $\dfrac{11\sqrt{3}}{7}$ ② $\dfrac{12\sqrt{3}}{7}$ ③ $\dfrac{13\sqrt{3}}{7}$ ④ $2\sqrt{3}$ ⑤ $\dfrac{15\sqrt{3..

그림과 같이 평면 $\alpha$ 위에 밑면의 중심이 $ \rm O$이고 반지름의 길이가 $6$ 인 원뿔대가 놓여있고, 다른 밑면의 반지름의 길이는 $4$ 이다. 반지름의 길이가 모두 $\sqrt{3}$ 이고 중심이 ${\rm O}_k$ $(k=1, \; 2, \; 3, \; 4)$ 인 네 구 $S_k$ 가 원뿔대의 두 밑면에 동시에 접하고 $S_1, \; S_3$ 는 원뿔대의 옆면에 접한다. $S_2, \; S_4$ 가 각각 $S_1, \; S_3$ 에 모두 접할 때, 평면 $\alpha$ 와 원뿔대에 모두 접하고 중심이 $\rm A$ 인 구 $S$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 점 $\rm O_1, \; O_3$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영이 각각 $\rm O_1', \; O_3'..

그림과 같이 평면 $\alpha \; : \; z=-2$ 와 중심이 ${\rm O}(0, \; 0, \; 0)$ 이고 반지름의 길이가 $4$ 인 구 $S$ 가 있다. 평면 $\alpha$ 에 접하는 두 구 $S_1, \; S_2$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $S_1$ 의 반지름의 길이는 $3$ 이고, $S_2$ 의 반지름은 $S_1$ 의 반지름보다 크다.(나) $S_1, \; S_2$ 는 모두 $S$ 에 외접한다.(다) $S_1$ 은 $S_2$ 와 외접한다. $S_1, \; S_2$ 의 중심을 각각 $\rm O_1, \; O_2$ 라 할 때, 직선 $\rm O_1O_2$ 가 평면 $\alpha$ 와 이루는 예각 $\theta$ 에 대하여 $\sin \theta = \dfrac{1}{7}$ 이다...

반지름의 길이가 \(2\) 인 구의 중심 \(\rm O\) 를 지나는 평면을 \(\alpha\) 라 하고, 평면 \(\alpha\) 와 이루는 각이 \(45^{\rm o}\) 인 평면을 \(\beta\) 라 하자. 평면 \(\alpha\) 와 구가 만나서 생기는 원을 \(C_1\), 평면 \(\beta\) 와 구가 만나서 생기는 원을 \(C_2\) 라 하자. 원 \(C_2\) 의 중심 \(\rm A\) 와 평면 \(\alpha\) 사이의 거리가 \(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\) 일 때, 그림과 같이 다음 조건을 만족하도록 원 \(C_1\) 위에 점 \(\rm P\), 원 \(C_2\) 위에 두 점 \(\rm Q, \;R\) 를 잡는다. (가) \(\angle \rm QAR=90^{\rm o}\)..

그림과 같이 반지름의 길이가 \(1\) 인 구의 중심 \(\rm O\) 를 지나 세 평면 \(\alpha, \; \beta ,\; \gamma\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 평면 \(\alpha, \; \beta\) 가 이루는 예각의 크기는 \(\dfrac{\pi}{3}\) 이다.(나) 두 평면 \(\beta, \; \gamma \) 가 이루는 예각의 크기는 \(\dfrac{\pi}{2}\) 이다. 두 점 \(\rm A, \; B\) 는 각각 두 평면 \(\beta , \; \gamma\) 의 교선, 두 평면 \(\gamma, \; \alpha\) 의 교선이 구와 만나는 점이고 호 \(\rm AB\) 의 길이는 \(\dfrac{\pi}{6}\) 이다. 두 평면 \(\alpha , \; \ga..

좌표공간에서 삼각형 \(\rm ABC\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 삼각형 \(\rm ABC\) 의 넓이는 \(6\) 이다. (나) 삼각형 \(\rm ABC\) 의 \(yz\) 평면 위로의 정사영의 넓이는 \(3\) 이다. 삼각형 \(\rm ABC\) 의 평면 \(x-2y+2z=1\) 위로의 정사영의 넓이의 최댓값은? ① \(2\sqrt{6}+1\) ② \(2\sqrt{2}+3\) ③ \(3\sqrt{5}-1\) ④ \(2\sqrt{5}+1\) ⑤ \(3\sqrt{6}-2\) 정답 ①

그림과 같이 좌표공간에 있는 정육면체 \(\rm OABC-DEFG\) 에서 \({\rm A}(4,\;0,\;0),\; {\rm C}(0,\;4,\;0),\;{\rm D}(0,\;0,\;4)\) 이다. 이 정육면체가 평면 \(x+y+2z=6\) 에 의하여 잘린 단면의 넓이를 \(S\) 라 할 때, \(S^2\) 의 값을 구하시오. (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) 정답 294

좌표공간에서 구 \(x^2 +y^2 +z^2 =50\) 이 두 평면 \[\alpha \;: \; x+y+2z=15\] \[\beta \; : \; x-y-4 \sqrt{3} z=25 \] 와 만나서 생기는 원을 각각 \(C_1 ,\; C_2\) 라 하자. 원 \(C_1\) 위의 점 \(\rm P\) 와 원 \(C_2\) 위의 점 \(\rm Q\) 에 대하여 \(\overline{{\rm PQ}} ^2\) 의 최솟값을 구하시오. 정답 40

오른쪽 그림과 같이 \(\overline{\rm AB}=8,\; \overline{\rm AE}=6,\; \overline{\rm AD}=16\)인 직육면체 \(\rm ABCD-EFGH\)에서 변 \(\rm CD, \; GF\)를 \(3:5\)로 내분하는 점을 각각 \(\rm P,\;Q\)라 할 때, 평면 \(\rm ADGF\)와 평면 \(\rm APQ\)가 이루는 각의 크기를 \(\theta\)라 하자. 이 때, \(\cos \theta\)의 값은? ① \(\Large \frac{1}{3}\) ② \(\Large \frac{\sqrt{2}}{3}\) ③ \(\Large \frac{2}{3}\) ④ \(\Large \frac{2\sqrt{2}}{3}\) ⑤ \(\Large \frac{4}{3}\) 정답 ④