수악중독

행렬 \(A=\left ( \matrix{0 & 1 \\ -1 & 1} \right )\) 에 대하여 자연수 \(m,\;n\) 은 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(A^m=A^n\) (나) \(m,\; n\) 은 \(100\) 이하의 서로 다른 자연수이다. \( |m-n|\) 의 최댓값을 \(p\), 최솟값을 \(q\) 라 할 때, \(p+q\) 의 값을 구하여라. 정답 \(102\)

행렬 \(A=\left ( \matrix{1 & 1 \\ 2 & 2} \right )\) 에 대하여 행렬 \(A^n\) 의 모든 성분의 합을 \(f(n)\) 이라 하자. \(\sum \limits_{n=1}^{10} f(n)\) 의 값은? ① \(3^{11}+3\) ② \(3^{11}\) ③ \(3^{11}-3\) ④ \(3^{10}+3\) ⑤ \(3^{10}-3\) 정답 ③

행렬 \(A = \left ( \matrix { 3 & 1 \\ -3 & -1} \right ) \) 일 때, \(A^{10}=kA\) 를 만족하는 실수 \(k\) 의 값을 구하시오. 정답 \(512\)

이차정사각행렬 $A = \begin{pmatrix} 0 & k \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$ 에 대하여 \(A^3 =A\) 가 성립하도록 상수 \(k\) 의 값을 정할 때, 행렬 \(\left (A^{99} \right ) ^{-1} \) 의 모든 성분의 합은? ① \(3\) ② \(\Large \frac{10}{3}\) ③ \(\Large \frac{11}{3}\) ④ \(4\) ⑤ \(\Large \frac{13}{3}\) 더보기 정답 ②

두 수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$ 과 행렬 $A= \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ 이 다음 두 조건을 만족할 때, 이차정사각행렬 \( {X} \) 를 구하면? (가) \(A^n = a_n A + b_n E\;\;(n \geq 1 ) \) (나) $\begin{pmatrix} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{pmatrix} = X \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$ ① $\begin{pmatrix}4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ ② $\begin{pmatrix}4 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$ ③ $\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -3 & 0..

행렬 $X=\begin{pmatrix} x & 4 \\ -1 & y \end{pmatrix}$ 가 등식 \( \left ( X^2 -4E \right ) \left (X+3E\right ) = O \) 를 만족하고, \(X=2E\) 의 역행렬이 존재할 때, \(\dfrac{y^2}{x} + \dfrac{x^2}{y}\) 의 값은? (단, \(E\) 는 단위행렬, \(O\) 는 영행렬이다.) ① \( - \dfrac{7}{2} \) ② \( - \dfrac{31}{10} \) ③ \( 0 \) ④ \( \dfrac{31}{10} \) ⑤ \( \dfrac{7}{2} \) 더보기 정답 ④

두 행렬 \( A= \left ( \matrix { 1 & 3 \cr -1 & -2 } \right ),\;\;B=\left ( \matrix { 2 & 3 \cr -1 & -1} \right ) \) 에 대하여 \[ A^{100} +A^{99}B + A^{98} B^2 + \cdots + AB^{99}+B^{100} = \left ( \matrix {a & b \cr c & d} \right ) \]이다. 이때, \(a+b+c+d\) 의 값을 구하시오. 정답 2

행렬 \(A=\left ( \matrix {a & b \cr b & a}\right )\) 가 \(A^2 -5A +3E=O\) 를 만족하는 순서쌍 \((a,\;b)\) 를 꼭짓점으로 하는 볼록다각형의 둘레의 길이를 \(l\) 이라 할 때, \(\Large \frac {l}{\sqrt {26}}\) 의 값을 구하시오. 더보기 정답 2

방정식 \(x^3 -1=0\) 의 한 허근을 \(\omega\) 라 할 때, 행렬 \(A= \left ( \matrix { \overline {\omega} & \omega \\ 1 & \omega +1 } \right ) \) 에 대하여 \(A^{30}\) 의 모든 성분의 합은? (단, \(\overline {\omega}\) 는 \(\omega\) 의 켤레복소수이다.) ① \(2^{14}\) ② \(2^{15}\) ③ \(3 \times 2^{14}\) ④ \(2^{16}\) ⑤ \(3 \times 2^{15}\) 정답 ④