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수악중독
그림과 같이 두 점 \(\rm F, \;F'\) 을 초점으로 하고 중심이 원점이 쌍곡선과 점 \(\rm F\) 를 중심으로 하고 점 \(\rm F'\) 을 지나는 원이 만나는 점 중 제\(1\)사분면의 점을 \(\rm P\), 제\(2\)사분면의 점을 \(\rm Q\) 라고 하자. \(\angle \rm F'FP=120^{\rm o}\) 일 때, \(\dfrac{\overline{\rm PF'}}{\overline {\rm QF'}}\) 의 값은? ① \(3-\sqrt{3}\) ② \(\sqrt{3}\) ③ \(3+\sqrt{3}\) ④ \(3+2\sqrt{3}\) ⑤ \(3+3\sqrt{3}\) 정답 ④
그림과 같이 준선의 방정식이 \(x=0\) 인 포물선 \(C\) 의 초점이 쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{7}=1\) 의 두 초점 \(\rm F, \;F'\) 중 한 초점 \(\rm F\) 와 일치한다. 쌍곡선과 포물선의 두 교점을 각각 \(\rm P, \;Q\) 라 할 때, \(\rm PQ\) 의 길이는 \(a\) 이다. \(a^2\) 의 값을 구하시오. (단, 점 \(\rm F\) 의 \(x\) 좌표는 양수이다.) 정답 \(224\)
그림과 같이 점 \({\rm A}(-5, \;0)\) 을 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(r\) 인 원과 타원 \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1\) 의 한 교점을 \(\rm P\) 라 하자. 점 \({\rm B}(3,\;0)\) 에 대하여 \(\overline{\rm PA}+\overline{\rm PB}=10\) 일 때, \(10r\) 의 값을 구하시오. 정답 \(26\)
그림과 같이 포물선 \(y^2=4x\) 와 점 \(\rm F(1, \;0)\) 을 지나는 직선이 만나는 점을 각각 \(\rm P,\;Q\) 라 하고, 두 점 \(\rm P, \;Q\) 에서 직선 \(x=-1\) 에 내린 수선의 발을 각각 \(\rm R, \;S\) 라 하자. \(\overline{\rm PQ}=16\) 일 때, 사각형 \(\rm RSQP\) 의 넓이를 구하시오. 정답 \(64\)
그림과 같이 포물선 \(y^2=kx\;(k>0)\) 의 초점 \(\rm F\) 를 지나면서 기울기가 \(1\) 인 직선 \(l\) 이 포물선과 만나는 두 점을 각각 \(\rm P, \;Q\) 라 하고, 두 점 \(\rm P,\;Q\) 에서 \(y\) 축에 내린 수선의 발을 각각 \(\rm P',\; Q'\) 이라 하자. 사각형 \(\rm QQ'PP'\) 의 넓이가 \(60\sqrt{2}\) 가 되도록 하는 실수 \(k\) 에 대하여 \(k^2\) 의 값을 구하시오. 정답 \(80\)
포물선 \(y^2=4px\; \left ( p> \dfrac{5}{2} \right ) \) 의 초점을 \(\rm F\) 라 하자. \(x\) 축 위의 \(\overline{\rm AF}=5\) 인 점 \(\rm A\) 에 대하여 \(\rm A\) 를 지나고 기울기가 \(1\) 인 직선이 포물선 \(y^2=4px\) 와 만나는 두 점을 \(\rm P, \;Q \; \left ( \overline{\rm AP} < \overline{\rm AQ} \right )\) 라 하자. \(\overline{\rm AP}=3\sqrt{2}\) 일 때, 선분 \(\rm PQ\) 의 길이는? (단, 원점을 \(\rm O\) 라 할 때, \(\overline{\rm AO}
좌표평면에서 두 점 \(\rm A(5,\;0), \; \rm B(-5,\;0)\) 에 대하여 장축이 선분 \(\rm AB\) 인 타원의 두 초점을 \(\rm F, \;F'\) 이라 하자. 초점이 \(\rm F\) 이고 꼭짓점이 원점인 포물선이 타원과 만나는 두 점을 각각 \(\rm P,\;Q\) 라 하자. \(\overline{\rm PQ}=2\sqrt{10}\) 일 때, 두 선분 \(\rm PF\) 와 \(\rm PF'\) 의 길이의 곱 \(\overline{\rm PF} \times \overline{\rm PF'}\) 의 값은 \(\dfrac{q}{p}\) 이다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p\) 와 \(q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 \(103\)
자연수 \(n\) 에 대하여 포물선 \(y^2=\dfrac{x}{n}\) 의 초점 \(\rm F\) 를 지나는 직선이 포물선과 만나는 두 점을 각각 \(\rm P, \;Q\) 라 하자. \(\overline{\rm PF}+1\) 이고 \(\overline{\rm FQ}=a_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{10} \dfrac{1}{a_n}\) 의 값은? ① \(210\) ② \(205\) ③ \(200\) ④ \(195\) ⑤ \(190\) 정답 ①
그림과 같이 \(x\) 축에 접하는 두 원 \(x^2+(y-10)^2=100,\;\;(x-12)^2+(y-5)^2=25\) 가 두 점 \(\rm P, \;Q\) 에서 만나고 있다. 이때 점 \(\rm P\) 를 초점으로 하고 \(x\) 축을 준선으로 하는 포물선과 점 \(\rm Q\) 를 초점으로 하고 \(x\) 축을 준선으로 하는 포물선이 만나는 두 점 사이의 거리를 구하시오. 정답 \(13\)
그림과 같이 점 \(\rm F(1, \;0)\) 을 지나는 직선이 포물선 \(y^2=4x\) 와 만나는 점을 \(\rm A, \;B\) 라고 하고, 두 점 \(\rm A, \;B\) 에서의 접선이 \(x\) 축과 만나는 점을 각각 \(\rm P, \;Q\) 라 하자. \(\angle \rm PAF=\dfrac{\pi}{6}\) 일 때, \(\overline{\rm PQ}\) 의 길이는?① \(2\) ② \(\dfrac{7}{3}\) ③ \(\dfrac{9}{4}\) ④ \(\dfrac{8}{3}\) ⑤ \(3\) 정답 ④삼각형 \(\rm APF\) 가 이등변 삼각형이 되는 것은 다 알고 계실거라 믿습니다.따라서 \( \angle \rm APF= \dfrac{\pi}{6}\) 가 됩니다. 결국 \(\ang..