수악중독

첫째항이 \(1\), 공차가 \(3\) 인 등차수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 부등식 \[\left | x- a_n \right | \ge \left | x-a_{n+1} \right | \;(n \ge 1)\] 을 만족시키는 \(x\) 의 최솟값을 \(b_n\) 이라 할 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(b_1 = \dfrac{a_1 +a_2}{2}\) ㄴ. 수열 \(\{a_n\}\) 은 공차가 \(\dfrac{3}{2}\) 인 등차수열이다. ㄷ. \(\sum \limits_{n=1}^{10} b_n =160\) ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

다음은 등식 \[\sum \limits_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)(k+3)=\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{5}\] 가 성립함을 증명한 것이다. \(\sum \limits_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)(k+3)\) \(=\sum \limits_{k=1}^{n} (가) \) \(=4! \left \{ \dfrac{4!}{4! \times 0!} + \dfrac{5!}{4! \times 1!} + \cdots + \dfrac{(n+3)!}{4! \times (n-1)!} \right \} \) \(=4! \cdot \sum \limits_{k=1}^{n} (나)\) \(= 4! \cdot (다)\) \(=\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{5}\)..

수열 \(\{a_n\}\) 의 제 \(n\) 항 \(a_n\) 을 자연수 \(k\) 의 양의 제곱근 \(\sqrt{k}\) 를 소수점 아래 첫째 자리에서 반올림하여 \(n\) 이 되는 \(k\) 의 개수라 하자. \(\sum \limits_{i=1}^{10} a_i\) 의 값을 구하시오. 정답 110

연속하는 \(2n+1\) 개의 자연수 \(a_1 ,\;a_2 , \; a_3 ,\; \cdots , \; a_{2n+1} \) 에 대하여 \[ a_1 ^2 + a_2 ^2 + \cdots + a_{n+1} ^2 = a_{n+2} ^2 + a_{n+3} ^2 + \cdots + a_{2n+1} ^2 \] 이 성립하는 수열이 존재한다. 예를 들어, 연속하는 \(5\)개의 자연수 \(10,\; 11,\; 12,\; 13,\; 14\) 에 대하여 \(10^2 +11^2 +12^2 = 13^2 +14^2\) 이 성립한다. 위 식이 성립하는 연속하는 \(15\) 개의 자연수로 이루어진 수열에서 첫째항은? ① \(105\) ② \(107\) ③ \(109\) ④ \(111\) ⑤ \(113\) 정답 ①

규리는 장난감 블록을 이용하여 다음 그림과 같은 형태의 집모양을 1층 집부터 차례로 만들려고 한다. 두 가지의 서로 다른 색깔의 블록이 각각 500개씩 일 때, 규리는 1층 집부터 \(k\) 층 집까지 완성할 수 있고, 이 때 서로 다른 색깔의 블록이 각각 \(m\) 개, \(n\) 개 남는다고 한다. \(k+m+n\) 의 값을 구하시오. 정답 240

자연수 \(n\) 에 대하여 네 부등식 \(x>0,\;\;y>0,\;\;y\le x^2 ,\;\; y\le -x+n\) 을 모두 만족하는 영역 안에 있는 점 중에서 \(x,\;y\) 의 좌표가 모두 정수인 순서쌍 \((x,\;y)\) 의 개수를 \(I_n\) 이라 하자. 이 때, \(I_{90} +I_{99}\) 의 값은? ① \(7815\) ② \(7817\) ③ \(7819\) ④ \(7821\) ⑤ \(7823\) 정답 ①

네 점 \((2n,\;0),\;\;(2n+1,\;0),\;\;(2n+1,\;1),\;\;(2n,\;1)\) 을 꼭짓점으로 갖는 정사각형을 \(D_n\) 이라 한다. 다음 그림의 어두운 부분과 같이 원점과 \((2n,\;1)\) 을 연결한 선분의 아래에 있는 정사각형 \(D_0 ,\;\;D_1 ,\;\; \cdots ,\;\; D_{n-1} \) 의 어두운 부분의 넓이의 합은? (단, \(n=0,\;1,\;2,\; \cdots \) 이다.) ① \( {\dfrac{n}{2}} - {\dfrac{1}{4}}\) ② \( {\dfrac{n}{2}} - {\dfrac{1}{2}}\) ③ \( {\dfrac{n}{3}} \) ④ \( {\dfrac{n-1}{2}} - {\dfrac{1}{4}}\) ⑤ \( {\d..

\(\left (1+2x+3x^2 +4x^3 + \cdots +11x^{10} \right )^2 \) 의 전개식에서 \(x^{10}\) 의 계수를 구하시오. 정답 286

6개의 양수 \(a,\; b,\; c,\; x,\; u,\; z\) 에 대하여 \(a