수악중독

다음은 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(_n{{\rm{C}}_1} + 2{ \cdot _n}{{\rm{C}}_2} + 3{ \cdot _n}{{\rm{C}}_3} + \cdots + n{ \cdot _n}{{\rm{C}}_n} = n \cdot {2^{n - 1}}\) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (i) \(n=1\) 일 때, (좌변)\({ = _1}{{\rm{C}}_1} = 1\), (우변)\(=2^0 =1\) 이므로 주어진 등식은 성립한다. (ii) \(n=k\) 일 때, 주어진 식이 성립한다고 가정하면 \[_k{{\rm{C}}_1} + 2{ \cdot _k}{{\rm{C}}_2} + 3{ \cdot _k}{{\rm{C}}_3} + \cdots + k{ \cdot _k}{{\r..

\(n\ge 2\) 인 모든 자연수 \(n\) 에 대하여\[\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{4}} \right)\left( {1 - \frac{1}{8}} \right) \cdots \left( {1 - \frac{1}{{{2^n}}}} \right) > 1 - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{{{2^n}}}} \right)\] 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (1) \(n=2\) 일 때, \({\dfrac{3}{8}} > (가) \) 이므로 주어진 부등식은 성립한다. (2) \(n=k\;\;(k\ge 2)\) 일 때, \[\left( {1..

자연수 \(t\) 에 대하여 \({H_i} = 1 + {\dfrac{1}{2}} + {\dfrac{1}{3}} + \cdots + {\dfrac{1}{i}}\) 이라 할 때, 다음은 부등식 \[H_{2^n} \ge 1+ { \frac{n}{2}} \;\; (n=0,\;1,\;2,\;\cdots)\;\; \cdots\cdots \; ㉠ \] 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. (i) \(n=0\) 일 때, (좌변)\(= H_{2^0} = H_1 = (가)\) (우변) \(=1+{\dfrac{0}{2}} = 1\) 그러므로 ㉠이 성립한다. (ii) \(n=k\) 일 때, \(H_{2^k} \ge 1+ {\dfrac{k}{2}}\) 가 성립한다고 가정하면 \(H_{2^{k+1}} =1+{\dfrac{..

다음은 임의의 자연수 \(n\) 에 대하여 \(a_n >0\) 이고 \(\sum \limits _{k=1}^{n} a_{k}^{3} = \left ( \sum \limits _{k=1}^{n} a_k \right ) ^2 \) 이면 \( a_n = (가) \) 임을 증명하는 과정이다. 임의의 자연수 \(n\) 에 대하여 \(a_n >0\) 이고 \(\sum \limits _{k=1}^{n} a_{k}^{3} = \left ( \sum \limits _{l=1}^{n} a_k \right ) ^2 \) 이므로 \(a_{k+1}^{3} = \sum \limits _{i=1}^{k+1} a_{i}^{3} - \sum \limits _{i=1}^{k} a_{i}^{3} \) \(= \left ( \sum \li..