수악중독

1. 수열의 귀납적 정의 - 개념정리 & 대표유형01 2. 수열의 귀납적 정의 - 대표유형02 3. 수열의 귀납적 정의 - 대표유형03 4. 등차, 등비수열의 귀납적 정의 - 개념정리 & 대표유형04,05 5. 등차, 등비수열의 귀납적 정의 - 대표유형06 6. 수학적 귀납법 - 개념정리 & 기본문제 7. 수학적 귀납젖 - 대표유형07 전반부 8. 수학적 귀납법 - 대표유형07 후반부 이전 다음

수열 $\{a_n\}$ 은 $a_1=\dfrac{3}{2}$ 이고 $$(n+2)(2n+1)a_{n+1} = -n(2n+3)a_n \;\; (n\ge 1)$$ 을 만족시킨다. 다음은 일반항 $a_n$ 이 $$a_n = (-1)^{n-1} \times \dfrac{2n+1}{n(n+1)}\;\;\; \cdots \;\; (*)$$ 임을 구학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다. (i) $n=1$ 일 때, $$(좌변)=a_1= \dfrac{3}{2}, \;\;\; (우변)= (-1)^0 \times \dfrac{3}{1 \times 2} = \dfrac{3}{2}$$ 이므로 $(*)$ 이 성립한다. (ii) $n=k$ 일 때, $(*)$ 이 성립한다고 가정하면 $$a_k = (-1)^{k-1}\times \df..

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^n (2k-1)(2n+1-2k)^2=\dfrac{n^2 \left (2n^2+1 \right )}{3}$$ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (i) $n=1$ 일 때, (좌변)=$1$, (우변)=$1$ 이므로 주어진 등식은 성립한다.(ii) $n=m$ 일 때, 등식 $\sum \limits_{k=1}^m(2k-1)(2m+1-2k)^2=\dfrac{m^2 \left (2m^2 +1 \right )}{3} $ 이 성립한다고 가정하자. $n=m+1$ 일 때, $\sum \limits_{k=1}^{m+1} (2k-1)(2m+3-2k)^2$ $=\sum \limits_{k=1}^m(2k-1)(2m+3-2k)^2 + (가) $ ..

수학적 귀납법 수학적 귀납법 심화개념 수열의 귀납적 정의 (1) 수열의 귀납적 정의 (2) - 점화식 기본형 수열의 귀납적 정의 (3) - 점화식 중요형 1번 수열의 귀납적 정의 (4) - 점화식 중요형 2번 수열의 귀납적 정의 (5) - 점화식 기타형 수학적 귀납법 유형정리 점화식 만들기 - 피보나치 수열 피보나치 수열의 점화식 만들기 - 실전예제 이전 다음

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$ \sum \limits_{k=1}^n (-1)^{k+1}k^2=(-1)^{n+1} \cdot \dfrac{n(n+1)}{2} \;\; \cdots\cdots\; (*)$$ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (i) $n=1$ 일 때, (좌변) $=(-1)^2 \times 1^2 = 1$ (우변) $=(-1)^2 \times \dfrac{1 \times 2}{2} = 1$(ii) $n=m$ 일 때, (*) 이 성립한다고 가정하면 $\begin{aligned} \sum \limits_{k=1}^{m+1} (-1)^{k+1} k^2 &= \sum \limits_{k=1}^{m} (-1)^{k+1}k^2 + (가) \\ &= (나) + (가) \\ &= (-..

다음은 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 부등식 \[\sum \limits_{i=1}^{2n+1} \dfrac{1}{n+i} = \dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+ \cdots + \dfrac{1}{3n+1}>1\] 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. 자연수\(n\) 에 대하여 \(a_n = \dfrac{1}{n+1}+ \dfrac{1}{n+2} + \cdots + \dfrac{1}{3n+1}\) 이라 할 때, \(a_n >1\) 임을 보이면 된다. (1) \(n=1\) 일 때, \(a_1=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\dfrac{1}{4}>1\) 이다. (2) \(n=k\) 일 때, \(a_k >1\) 이라고 가정하면, \(n=k+1\) 일 때 \(\beg..

다음은 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 등식 \[\sum \limits_{k=1}^n (2k+1) \left ( \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2} +\cdots + \dfrac{1}{n} \right ) = \dfrac{n(n+5)}{2}\] 가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (i) \(n=1\) 일 때, (좌변)=\(3\), (우변)=\(3\) 이므로 주어진 등식이 성립한다. (ii) \(n=m\;(n \geq 1)\) 일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면 \[\sum \limits_{k=1}^m (2k+1) \left ( \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2} +\cdots + \dfrac{1}..

다음은 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 부등식 \[ (n-1) \cdot 2^n +3^n \geq 3n \cdot 2^{n-1} \;\;\; \cdots \cdots (*) \] 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. i) \(n=1\) 일 때, \(0 \cdot 2^1 + 3^1 \geq 3 \cdot 1 \cdot 2^0\) 이므로 부등식 \((*)\) 이 성립한다. ii) \(n=k\) (\(k\) 는 자연수) 일 때, 부등식 \((*)\) 이 성립한다고 가정하면 \((k-1)\cdot 2^k + 3^k \geq 3k \cdot 2^{k-1} \cdots \cdots\)㉠ ㉠의 양변에 \(2\) 를 곱한 후 \((가)\) 를 더하고 \(2 \cdot 3^k \) 을 빼면 \(k \cdot ..

다음은 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 등식 \[\sum \limits_{k=1}^{n} \dfrac{_n {\rm C} _k }{_{n+4} {\rm C} _k} = \dfrac{n+5}{5}\] 가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (1) \(n=1\) 일 때, (좌변) \(=\dfrac{_1 {\rm C}_0}{_5 {\rm C} _0} + \dfrac{_1 {\rm C} _1}{_5 {\rm C} _1}=\dfrac{6}{5}\), (우변) \(= \dfrac{1+5}{5}=\dfrac{6}{5}\) 이므로 주어진 등식은 성립한다. (2) \(n=m\) 일 때, 등식 \(\sum \limits_{k=0}^{m} \dfrac{_m {\rm C} _k}{_{m+4} {\rm C} _k} =..

수열 \( a_n \) 이 \( a_1 = \alpha ( \alpha \neq 0 ) \) 이고, 모든 \( n ( n \geq 2 ) \) 에 대하여 \( (n-1)a_n + \sum\limits_{m = 1}^{n-1} ma_m = 0 \) 을 만족시킨다. 다음은 \( a_n = \dfrac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}\alpha \; ( n \geq 1 ) \) 임을 수학적귀납법을 이용하여 증명한 것이다. (1) \( n=1 \) 일 때, \( a_1 = \alpha = \dfrac{(-1)^{1-1}}{(1-1)!}\alpha \) 이다. (2) i) \( n=2 \) 일 때, \( a_2 + a_1 = 0 \) 이므로 \( a_2 = - a_1 = \dfrac{(-1)^{2-1}}{(2..