수악중독

한 변의 길이가 $12$ 인 정삼각형 $\rm BCD$ 를 한 면으로 하는 사면체 $\rm ABCD$ 의 꼭짓점 $\rm A$ 에서 평면 $\rm BCD$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 할 때, 점 $\rm H$ 는 삼각형 $\rm BCD$ 의 내부에 놓여 있다. 삼각형 $\rm CHD$ 의 넓이는 삼각형 $\rm BCH$ 의 넓이의 $3$ 배, 삼각형 $\rm DBH$ 의 넓이는 삼각형 $\rm BCH$ 넓이의 $2$ 배이고, $\overline{\rm AH}=3$ 이다. 선분 $\rm BD$ 의 중점을 $\rm M$, 점 $\rm A$ 에서 선분 $\rm CM$ 에 내린 수선의 발을 $\rm Q$ 라 할 때, 선분 $\rm AQ$ 의 길이는? ① $\sqrt{11}$ ② $2\sqrt{3}$..

그림과 같이 한 변의 길이가 $6$ 인 정사면체 $\rm ABCD$ 가 있다. 선분 $\rm BC$ 의 중점을 $\rm M$, 선분 $\rm DM$ 을 $4:1$ 로 외분하는 점을 $\rm E$ 라 하자. 정사면체 $\rm ABCD$ 의 내부 또는 경계 위의 점 $\rm P$ 와 선분 $\rm AE$ 위의 점 $\rm Q$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm AQ}\cdot \overrightarrow{\rm QP}=0$ 이다. $\overrightarrow{\rm AD} \cdot \overrightarrow{\rm BP}$ 의 최댓값이 $12$ 일 때, $\overrightarrow{\rm CE} \cdot \overrightarrow{\rm QB}$ 의 값을 구하시오. 정답 $9$

그림과 같이 직선 $l$ 을 교선으로 하고 이루는 각의 크기가 $\dfrac{\pi}{4}$ 인 두 평면 $\alpha$ 와 $\beta$ 가 있고, 평면 $\alpha$ 위의 점 $\rm A$ 와 평면 $\beta$ 위의 점 $\rm B$ 가 있다. 두 점 $\rm A, \; B$ 에서 직선 $l$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\rm C, \; D$ 라 하자. $\overline{\rm AB}=2, \;\; \overline{\rm AD}=\sqrt{3}$ 이고 직선 $\rm AB$ 와 평면 $\beta$ 가 이루는 각의 크기가 $\dfrac{\pi}{6}$ 일 때, 사면체 $\rm ABCD$ 의 부피는 $a+ b \sqrt{2}$ 이다. $36(a+b)$ 의 값을 구하시오. 정답 $12$

그림과 같이 좌표공간에서 서로 수직인 두 평면 $\alpha, \; \beta$ 가 있다. 평면 $\alpha$ 위의 삼각형 $\rm ABC$ 와 평면 $\beta$ 위의 삼각형 $\rm BDC$ 에 대하여 $\rm \angle CAB= \angle DCB = \dfrac{\pi}{2}$ 이고 $\overline{\rm AC}=15$, $\overline{\rm BC}=\overline{\rm CD}=25$ 이다. 점 $\rm A$ 와 직선 $\rm BD$ 사이의 거리를 $d$ 라고 할 때, $d^2$ 의 값을 구하시오. 정답 $272$

그림과 같이 반지름의 길이가 $2$ 인 구 $S$와 서로 다른 두 직선 $l, \;m$ 이 있다. 구 $S$ 와 직선 $l$ 이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 $\rm A, \; B,$ 구 $S$ 와 직선 $m$이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 $\rm P, \;Q$ 라 하자. 삼각형 $\rm APQ$ 는 한 변의 길이가 $2\sqrt{3}$인 정삼각형이고 $\overline{\rm AB}=2\sqrt{2}, \; \angle {\rm ABQ}=\dfrac{\pi}{2}$ 일 때, 평면 $\rm APB$ 와 평면 $\rm APQ$ 가 이루는 각의 크기 $\theta$ 에 대하여 $100 \cos^2 \theta$ 의 값을 구하시오. 정답 $60$ 보충설명

좌표공간의 점 ${\rm P}(3, \;5, \;4)$ 에서 $xy$ 평면에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하자. $xy$ 평면 위의 한 직선 $l$ 과 점 $\rm P$ 사이의 거리가 $4 \sqrt{2}$ 일 때, 점 $\rm H$ 와 직선 $l$ 사이의 거리는? ① $3$ ② $\sqrt{10}$ ③ $2\sqrt{3}$ ④ $\sqrt{15}$ ⑤ $4$ 정답 ⑤

공간도형의 기본 성질, 평면의 결정조건, 직선과 평면의 위치 관계 직선과 평면의 평행에 관한 성질 - 알고 있으면 도움되는 심화 내용 (1) 평행한 두 평면 $\alpha, \; \beta$ 가 또 다른 평면 $\gamma$ 와 만나서 생기는 교선을 각각 $l, \; m$ 이라고 하면, 두 교선 $l, \;m$ 은 서로 평행하다. 두 평면 $\alpha, \; \beta$ 는 평행하므로 만나지 않는다. 따라서 평면 $\alpha$ 에 포함된 직선 $l$ 과 평면 $\beta$ 에 포함된 직선 $m$도 서로 만나지 않는다. 그런데 두 직선 $l, \;m$ 은 모두 평면 $ \gamma$ 에 있으므로 $l \parallel m$ 이다. (2) 두 평면 $\alpha$ 와 $\beta$ 가 평행하면 평면 $\..

그림과 같이 \(\overline{\rm AB} =9,\; \overline{\rm BC} =12,\; \cos(\angle {\rm ABC}) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\) 인 사면체 \(\rm ABCD\) 에 대하여 점 \(\rm A\) 의 평면 \(\rm BCD\) 위로의 정사영을 \(\rm P\) 라 하고 점 \(\rm A\) 에서 선분 \(\rm BC\) 에 내린 수선의 발을 \(\rm Q\) 라 하자. \(\cos(\angle {\rm AQP}) = \dfrac{\sqrt{3}}{6}\) 일 때, 삼각형 \(\rm BCP\) 의 넓이는 \(k\) 이다. \(k^2\) 의 값을 구하시오. 정답 \(162\)

그림과 같이 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}=5,\; \overline{\rm BC}=2\sqrt{7}\) 인 삼각형 \(\rm ABC\) 가 \(xy\) 평면 위에 있고, 점 \(\rm P(1, \; 1,\; 4)\) 의 \(xy\) 평면 위로의 정사영 \(\rm Q\) 는 삼각형 \(\rm ABC\) 의 무게중심과 일치한다. 점 \(\rm P\) 에서 직선 \(\rm BC\) 까지의 거리는?① \(3 \sqrt{2}\) ② \(\sqrt{19}\) ③ \(2\sqrt{5}\) ④ \(\sqrt{21}\) ⑤ \(\sqrt{22}\) 정답 ①

그림과 같이 한 모서리의 길이가 \(5\) 인 정육면체 \( \rm ABCD-EFGH\) 에서 \(\overline{\rm EF}\) 의 중점을 \(\rm M\) 이라 하자. 평면 \(\rm DCGH\) 위의 동점 \(\rm P\), \(\overline{\rm BM}\) 위의 동점 \(\rm Q\) 에 대하여 \(\overline{\rm AP}+ \overline{\rm PQ}\) 의 최솟값을 \(m\) 이라 할 때, \(m^2\) 의 값을 구하시오. 정답 \(120\)