수악중독

좌표평면에서 함수 $$f(x)=\left \{ \begin{array}{ll} -x+10 & (x

좌표평면에서 $2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 영역 $\{(x, \; y) \; | \; 0 \le x \le n, \; \; 0 \le y \le \sqrt{x} \}$ 에 속하는 점 중에서 다음 조건을 만족시키는 서로 다른 두 점을 동시에 선택하는 경우의 수를 $f(n)$ 이라 하자. (가) 두 점의 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 정수이다.(나) 두 점의 중점의 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 정수이다. 예를 들어, $f(4)=9$ 이다. $f(n) \le 100$ 을 만족시키는 자연수 $n$ 의 최댓값을 구하시오. 정답 $9$

다음 조건을 만족시키는 $100$ 이하의 자연수 $n$ 의 개수를 구하시오. (가) $30 \le a \le 40$ 인 모든 실수 $a$ 에 대하여 $\sum \limits_{k=1}^{n} k(k-a) \le 0$ 이다.(나) $4 \le b \le 10$ 인 어떤 실수 $b$ 에 대하여 $\displaystyle \int_b^n (x-b)(x-3b) dx \ge 0$ 이다. 정답 $36$

좌표평면에서 자연수 $n$ 에 대하여 영역 $$ \left \{ (x, \; y) \left | \; 0 \le x \le n, \;\; 0 \le y \le \dfrac{\sqrt{x+3}}{2} \right . \right \} $$ 에 포함되는 정사각형 중에서 다음 조건을 만족시키는 모든 정사각형의 개수를 $f(n)$ 이라 하자. (가) 각 꼭짓점의 $x$ 좌표, $y$ 좌표가 모두 정수이다.(나) 한 변의 길이가 $\sqrt{5}$ 이하이다. 예를 들어, $f(14)=15$ 이다. $f(n) \le 400$ 을 만족시키는 자연수 $n$ 의 최댓값을 구하시오. 정답 $65$

좌표평면에서 자연수 \(n\) 에 대하여 영역 \( \{ (x, \;y) \;|\; 2^x-n \leq y \leq \log_2 (x+n) \}\) 에 속하는 점 중 다음 조건을 만족시키는 점의 개수를 \(a_n\) 이라 하자. (가) \(x\) 좌표와 \(y\) 좌표는 서로 같다. (나) \(x\) 좌표와 \(y\) 좌표는 모두 정수이다. 예를 들어, \(a_1 =2, \; a_2=4\) 이다. \(\sum \limits_{n=1}^{30} a_n\) 의 값을 구하시오. 정답 \(573\)