수악중독

모든 자연수 $k$ 에 대하여 좌표평면에 중심이 ${\rm A}_k$, 반지름의 길이가 $r_k$ 인 원 $C_k$ 를 다음 규칙에 따라 정한다. (가) $\rm A_1 (1, \;0)$ 이고 $r_1=1$ 이다. (나) 점 ${\rm A}_{k+1}$ 은 점 ${\rm A}_k$ 를 $x$ 축의 방향으로 $3$ 만큼 평행이동한 점이다. (다) $r_{k+1} = r_k +2$ 자연수 $m$에 대하여 집합 $X_m$ 을 $$X_m = \{ k \; | \; k \ne m 이고, \; 원\; C_m과 \; 원 \; C_k 는 \; 만난다.\}$$라 할 때, $n(X_m) \ge 500$ 을 만족시키는 $m$ 의 최솟값을 구하시오. 정답 $105$

공차가 $0$ 이 아닌 등차수열 $\{a_n\}$ 과 공비가 $1$ 이 아닌 등비수열 $\{b_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a_2=b_4, \;\; a_5 = b_7, \;\; a_9=b_{10}$(나) $\sum \limits_{k=1}^{10} \left ( b_{3k-2} \right ) ^2 = \dfrac{135}{112} \sum \limits_{k=1}^{20} b_{3k-2}$ $\sum \limits_{k=1}^{24} a_k$ 의 값을 구하시오. 정답 $195$

수열 $\{a_n\}$ 은 첫째항이 $2$, 공비가 $2$ 인 등비수열이고, 수열 $\{b_n\}$ 은 첫째항이 $5$, 공차가 $3$ 인 등차수열이다. 두 수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$ 의 공통인 항을 작은 것부터 차례로 나열한 수열을 $\{c_n\}$ 이라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $c_1 = a_3$ㄴ. $c_n = \sum \limits_{k=1}^{2n}a_k+2\; \; (n=1, \; 2, \; 3, \; \cdots)$ㄷ. $c_k=b_l$ 을 만족시키는 두 자연수 $k, \; l$ 에 대하여 $c_{k+2} = b_{16l+10}$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

자연수 $k$ 에 대하여 수열 $\{a_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a_1 = 6k$ (나) $a_{n+1}= \begin{cases} a_n -2 & (n은 \; 홀수) \\ a_n -1 & (n은 \; 짝수) \end{cases}$ $a_n >0$ 을 만족시키는 자연수 $n$ 의 최댓값 $M$ 에 대하여 $\sum \limits_{n=1}^M a_n=1220$ 일 때, $a_{10}$ 의 값을 구하시오. 정답 $46$

등차수열 $\{a_n\}$ 과 공비가 $1$ 보다 작은 등비수열 $\{b_n\}$ 이 $$ a_1 + a_8 = 8, \;\; b_2b_7=12, \;\; a_4=b_4, \;\; a_5=b_5$$ 를 모두 만족시킬 때, $a_1$ 의 값을 구하시오. 정답 $18$

첫째항이 $3$ 인 등차수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $\sum \limits_{n=1}^{10} (a_{5n}-a_n)=440$ 일 때, $\sum \limits_{n=1}^{10} a_n$ 의 값을 구하시오. 정답 $120$

수열의 기초 등차수열 수열의 합과 일반항 & 등차수열의 합과 일반항 등차수열 심화개념 조화수열 이전 다음

다음 그림과 같이 \(2\) 번 접어 세 겹으로 만든 리본을 가위로 평행하게 \(1\) 번, \(2\) 번, \(3\) 번, \(\cdots\) 자르면 리본은 각각 몇 개의 조각으로 나누어진다. 이와 같이 \(2\) 번 저버 세 겹으로 만든 리본을 가위로 평행하게 \(10\) 번 자를 때, 나누어진 리본의 최대 개수는? ① \(22\) ② \(25\) ③ \(28\) ④ \(31\) ⑤ \(34\) 정답 ④

등차수열 \(\{a_n\}\) 의 공차와 각 항이 \(0\) 이 아닌 실수일 때, 방정식 \(a_{n+2}x^2+2a_{n+1}+a_n=0\) 의 한 근을 \(b_n\) 이라 하면 등차수열 \(\left \{ \dfrac{b_n}{b_n+1} \right \} \) 의 공차는? (단, \(b_n \ne -1\)) ① \(-\dfrac{1}{2}\) ② \(-\dfrac{1}{4}\) ③ \(\dfrac{1}{8}\) ④ \(\dfrac{1}{4}\) ⑤ \(\dfrac{1}{2}\) 정답 ①

자연수 \(n\) 에 대하여 함수 \(y=2^{x+n}\) 의 그래프가 함수 \(y= \left (\dfrac{1}{2} \right )^x\) 의 그래프와 만나는 점을 \({\rm P}_n\) 이라 하자. 점 \({\rm P}_n\) 의 \(x\) 좌표를 \(a_n\), \(y\) 좌표를 \(b_n\) 이라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 수열 \(\{ a_n\} \) 은 등차수열이다. ㄴ. 임의의 자연수 \(m, \;n\) 에 대하여 \(b_m b_n = b_{m+n}\) 이다. ㄷ. \(2b_n < b_{n+1} \) 을 만족하는 자연수 \(n\) 이 존재한다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③