수악중독

그림과 같이 한 변의 길이가 \(1\) 인 정팔각형 \(\rm A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1 G_1 H_1\) 의 내부에 정사각형 \(\rm A_1 C_1 E_1 G_1\) 과 \(\rm B_1 D_1 F_1 H_1\) 을 그리고 두 정사각형 \(\rm A_1 C_1 E_1 G_1\) 과 \(\rm B_1 D_1 F_1 H_1\) 의 변으로 둘러싸인 삼각형에 색칠하여 얻은 \(8\) 개의 삼각형을 \( T_1\) 이라 하고, 그 \(8\) 개의 삼각형의 넓이를 \(S_1\) 이라 하자. 또 두 정사각형 \(\rm A_1 C_1 E_1 G_1\) 과 \(\rm B_1 D_1 F_1 H_1\) 의 변의 교점을 \(\rm A_2 , \; B_2 ,\; C_2 , \; D_2 , \; E_2 ,\;..

그림과 같이 모선 \(\rm OA_1\) 의 길이가 \(8\), 밑면의 지름 \(\rm A_0 A_1\) 의 길이가 \(4\) 인 원뿔이 있다. 점 \(\rm A_1\) 을 출발하여 원뿔을 한 바퀴 돌아 다시 점 \(\rm A_1\) 으로 돌아오는 최단 경로의 길이를 \(l_1\) 이라 하고, 이 최단 경로와 모선 \(\rm OA_0\) 가 만나는 점을 \(\rm A_2\) 라 하자. 또, 점 \(\rm A_2\) 를 출발하여 원뿔을 한 바퀴 돌아 다시 점 \(\rm A_2\) 로 돌아오는 최단 경로의 길이를 \(l_2\) 라 하고, 이 최단 경로와 모선 \(\rm OA_1\) 이 만나는 점을 \(\rm A_3\) 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 최단 경로의 길이를 \(l_n..

좌표평면 위에 점 \(\rm P_1 (2,\;0)\) 이 있다. 삼각형 \(\rm OP_1 Q_1\) 이 정삼각형이 되도록 제\(1\)사분면 위의 점 \(\rm Q_1\) 을 잡는다. 선분 \(\rm OQ_1\) 의 중점을 \(\rm P_2\) 라 하고, 삼각형 \(\rm OP_2 Q_2\) 가 정삼각형이 되도록 정삼각형 \(\rm OP_1 Q_1\) 의 외부에 점 \(\rm Q_2\) 를 잡는다. 선분 \(\rm OQ_2\) 의 중점을 \(\rm P_3\) 이라 하고, 삼각형 \(\rm OP_3 Q_3\) 이 정삼각형이 되도록 정삼각형 \(\rm OP_2 Q_2\) 의 외부에 점 \(\rm Q_3\) 를 잡는다. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 점 \(\rm Q_{\it n}\) 의 좌..

직사각형 \(\rm A_1 B_1 C_1 D_1\) 에서 \(\overline{\rm A_1 B_1} =1,\; \overline{\rm A_1 D_1}=2\) 이다. 그림과 같이 선분 \(\rm A_1 D_1\) 과 선분 \(\rm B_1 C_1\) 의 중점을 각각 \(M_1, \; N_1\) 이라 하자. 중심이 \(\rm N_1\), 반지름의 길이가 \(\overline{\rm B_1 N_1}\) 이고 중심각의 크기가 \(\dfrac{\pi}{2}\) 인 부채꼴 \(\rm N_1 M_1 B_1\) 을 그리고, 중심이 \(\rm D_1\), 반지름의 길이가 \(\overline{\rm C_1 D_1}\) 이고 중심각의 크기가 \(\dfrac{\pi}{2}\) 인 부채꼴 \(\rm D_1 M_1 C_1\..

그림과 같이 한 변의 길이가 \(6\) 인 정사각형 \(\rm A_1 B_1 C_1 D_1\) 에 대하여 점 \({\rm A}_{n+1}\), \( {\rm B}_{n+1}\), \( {\rm C}_{n+1}\), \( {\rm D}_{n+1}\) 을 다음 조건을 만족시키도록 정한다. (단, \(n=1, \;2, \;3, \cdots\) ) (가) 네 개의 삼각형 \({\rm A}_n {\rm B}_n {\rm A}_{n+1}\), \({\rm B}_n {\rm C}_n {\rm B}_{n+1}\), \({\rm C}_n {\rm D}_n {\rm C}_{n+1}\), \({\rm D}_n {\rm A}_n {\rm D}_{n+1}\) 은 두 내각의 크기가 \(30^{\rm o}\) 로 같은 이등변삼각형..

그림과 같이 중심이 \(\rm O\) 이고 지름 \(\rm AB\) 의 길이가\(4\) 인 원이 있다. 두 선분 \(\rm AO, \; BO\) 를 각각 지름으로 하는 두 원을 그린 후, 이 두 원에 외접하며 원 \(\rm O\) 에 내접하는 두 원을 그린다. 이렇게 그린 네 원의 내분에 색을 칠하여 얻은 그림을 \(T_1\) 이라 하자. 그림 \(T_1\) 에서 원 \(\rm O\) 의 지름 \(\rm AB\) 와 만나는 두 원의 내부에 각각 위와 같은 방법으로 네 개의 원을 그리고 새로 그려진 모든 원의 내부의 색을 지워 얻은 그림을 \(T_2\) 라 하자.그림 \(T_2\) 에서 원 \(\rm O\) 의 지름 \(\rm AB\) 와 만나는 네 원의 내부에 각각 위와 같은 방법으로 네 개의 원을 그리..

좌표평면에 원 \(C_1 : x^2 +y^2 =9\) 가 있다. 그림과 같이 \(x\) 축 위의 점 \({\rm A}(5,\;0)\) 에서 원 \(C_1\) 에 두 개의 접선 \(l_1 , \; l_2\) 를 그었을 때 생기는 접점을 각각 \(\rm P_1 , \; Q_1\) 이라 하고, 원 \(C_1\) 과 \(x\) 축의 교점 중 \(x\) 좌표가 음수인 점을 \(\rm R_1\) 이라 하자. 중심이 \(x\) 축 위에 있고 중심의 \(x\) 좌표가 양수이면서 원 \(C_1\) 과 외접하고 두 직선 \(l_1 ,\; l_2\) 에 접하는 원을 \(C_2\) 라 하자. 원 \(C_2\) 와 원 \(C_1\) 의 접점을 \(\rm R_2\), 두 직선 \(l_1 ,\; l_2\) 와의 교점을 각각 \(\..

한 변의 길이가 \(1\) 인 정사각형을 \(R_1\) 이라 하자. 그림과 같이 \(R_1\) 의 한 꼭짓점과 정사각형 \(R_1\) 의 변 위의 두 점을 세 꼭짓점으로 하는 정삼각형 하나를 그리고 이 정삼각형에 내접하는 원을 그린 후, 이 원에 내접하는 하나의 정사각형을 \(R_2\) 라 하자. 정사각형 \(R_2\) 의 한 꼭짓점과 정사각형 \(R_2\) 의 변 위의 두 점을 세 꼭짓점으로 하는 정삼각형 하나를 그리고 이 정삼각형에 내접하는 원을 그린 후, 이 원에 내접하는 하나의 정사각형을 \(R_3\) 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 정사각형을 \(R_n\) 이라 하자. 정사각형 \(R_n\) 의 넓이를 \(S_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}..

그림과 같이 한 변의 길이가 \(1\) 인 정삼각형 \(\rm A_1 B_1 C_1\) 의 세 변 \(\rm B_1 C_1 ,\;\; C_1 A_1 ,\;\; A_1 B_1\) 을 \(1:2\) 로 내분한 점을 각각 \(\rm D_1 ,\;\; E_1 , \;\; F_1\) 이라 하고, 세 선분 \(\rm A_1 D_1 ,\;\; B_1 E_1 ,\;\; C_1 F_1\) 의 교점을 차례대로 \(\rm A_2 , \;\; B_2 ,\;\; C_2\) 라 하자. 삼각형 \(\rm A_2 B_2 C_2\) 의 세 변 \(\rm B_2 C_2 ,\;\; C_2 A_2 ,\;\; A_2 B_2\) 을 \(1:2\) 로 내분한 점을 각각 \(\rm D_2 ,\;\; E_2 , \;\; F_2\) 이라 하고, 세 ..

한 변의 길이가 \(1\)인 정육각형에서 서로 이웃하지 않는 세 변의 중점과 이 정육각형에 외저접하는 원의 중심을 각각 연결하여 세 선분을 얻는다. 이 세 선분을 각각 가장 긴 대각선으로 하는 \(3\) 개의 정육각형을 그려서 얻은 삼각형 벌집 모양의 그림을 \(H_1\) 이라 하고, 그림 \(H_1\) 의 넓이를 \(S_1\) 이라 하자. 그림 \(H_1\) 에서 새로 그려진 세 정육각형 내부에 각각 그림 \(H_1\) 을 얻은 것과 같은 방법으로 그려서 얻은 \(3\) 개의 삼각형 벌집 모양의 그림을 \(H_2\) 라 하고, 그림 \(H_2\) 의 넓이를 \(S_2\) 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 그려서 얻은 \(3^{n-1}\) 개의 삼각형 벌집 모양의 그림을 \(H_n\)..