수악중독

좌표공간에서 구 \(S\;:\; x^2 +y^2 + (z-3)^2 =4\) 와 평면 \(x-y+z-6=0\) 이 만나성 생기는 원을 \(C\) 라 하자. 구 \(S\) 위의 점 \({\rm A} \left ( \sqrt{2},\; \sqrt{2},\; 3 \right )\) 과 원 \(C\) 위를 움직이는 점 \(\rm B\) 에 대하여 두 벡터 \(\overrightarrow{\rm OA},\; \overrightarrow{\rm OB}\) 의 내적 \(\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OB}\) 의 최댓값과 최솟값의 곱을 구하시오. (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) 정답 \(134\)

그림과 같이 점 \(\rm O\) 를 중심으로 하고 길이가 \(4\) 인 선분 \(\rm AB\) 를 지름으로 하는 반원이 있다. 이 반원의 내분에 \(\overline{\rm AC}=1\) 인 점 \(\rm C\) 를 잡고, 삼각형 \(\rm ABC\) 의 내접원의 중심을 \(\rm O'\) 이라 하자. 선분 \(\rm AO'\) 의 연장선과 선분 \(\rm BC\) 의 교점을 \(\rm N\), 반원과의 교점을 \(\rm P\) 라 하고, 선분 \(\rm BC\) 의 중점을 \(\rm M\), 선분 \(\rm AM\) 의 연장선과 선분 \(\rm BP\) 의 교점을 \(\rm Q\) 라 하자. \(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}, \; \overrighta..

그림과 같이 꼭짓점이 \(\rm A\), 밑변의 중심이 \(\rm B\) 인 원뿔과 중심이 \(\rm O\) 인 구가 점 \(\rm B\) 에서 접하고 있다. 원뿔의 모선의 길이는 \(5\), 밑면의 반지름의 길이는 \(3\) 이고, 구의 반지름의 길이는 \(4\) 이다. 원뿔의 밑면의 둘레인 원 위의 점 \(\rm P\) 와 구 위의 점 \(\rm Q\) 에 대하여 \(\overrightarrow{\rm AP}\cdot \overrightarrow{\rm AQ}\) 의 최댓값을 구하시오. 정답 \(52\)

정의역이 \(\left \{ x | -\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2} \right \}\) 인 함수 \(f(x)=\dfrac{1}{2} \left | \tan x \right |\) 가 있다. \(y\) 축 위의 점 \({\rm A}(0,\;t)\)와 곡선 \(y=f(x)\) 위의 임의의 두 점 \(\rm P, \;Q\) 에 대하여 항상 \(\overrightarrow{\rm PA}\cdot \overrightarrow{\rm AQ}\leq 0\) 가 성립하도록 하는 실수 \(t\) 의 최댓값은 \(a+b \pi\) 이다. \(80(a-b)\) 의 값을 구하시오. 정답 \(60\)

평면에서 한 점 \(\rm P\) 에서 만나는 두 삼각형 \(\rm ABP, \; CDP\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\overline{\rm AP}=\overline{\rm BP}=2\sqrt{2}\) (나) \(\overline{\rm CP}=\overline{\rm DP}=2\sqrt{5}\) (다) \(\angle \rm APB=\angle \rm CPD=\dfrac{\pi}{4}\) 두 벡터 \(\overrightarrow{\rm AD}, \; \overrightarrow{\rm BC}\) 에 대하여 \(\overrightarrow{\rm AD} \cdot \overrightarrow{\rm BC}=18\sqrt{2}\) 이다. \(\angle \rm APC=\theta\) 라 할..

좌표공간에서 평면 \(x+y+z=1\) 위의 점 \(\rm P\) 에 대하여 점 \(\rm Q\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 점 \(\rm Q\) 는 반직선 \(\rm OP\) 위의 점이다. (나) \(\overrightarrow{\rm OP} \cdot \overrightarrow{\rm OQ} = 1\) 세 점 \({\rm A}(1,\;0,\;0), \;\; {\rm B}(0,\;1,\;0),\;\; {\rm C}(0,\;0,\;1)\) 이고, \(\left | \overrightarrow{\rm OQ} \right |\) 의 값이 최대가 되도록 하는 점 \(\rm Q\) 를 \(\rm D\) 라 할 때, 사면체 \(\rm ABCD\) 의 부피는? (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) ①..

좌표공간 위의 원점 \(\rm O\) 와 점 \({\rm A} \left ( 0,\; -\dfrac{1}{2}, \; \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right ) \) 에 대하여 점 \(\rm B\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \( \left | \overrightarrow {\rm OB} \right | = \dfrac{1}{2} \left | \overrightarrow{\rm OA} \right | \) (나) \(\cos \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OB}}{\left | \overrightarrow{\rm OA} \right | \left | \overrightarrow{\rm O..