수악중독

모든 항이 양수인 두 수열 \( \{ a_n \} , \; \{ b_n \} \) 이 \(\sum\limits_{k = 1}^n a_k = \sum\limits_{k = 1}^n b_k \) 를 만족할 때, 다음은 모든 자연수 \( n \) 에 대하여 \( \sum\limits_{k = 1}^n \dfrac{a_{k}^{2}}{a_k + b_k } \geq (다) \sum\limits_{k = 1}^n a_k \) 이 성립함을 증명한 것이다. 절대부등식 \( (x+y)^2 \geq 4xy \) 를 이용하면 \( \sum\limits_{k = 1}^n \dfrac{a_k b_k}{a _k + b_k} \le \sum\limits_{k = 1}^n {(가)} = \dfrac{1}{2} \sum\limits_..

자연수 \( n \) 에 대하여 \( a_n = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n} \) 로 정의한다. 다음은 \( 2 \) 이상인 모든 자연수 \( n \) 에 대하여 등식 \( a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{n-1} = n(a_n -1) \) 이 성립함을 증명한 것이다. (1) \( n=2 \) 일 때, \( (좌변)=(우변)=(가) \) 이므로 주어진 등식은 성립한다. (2) \( n=k \) 일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면 \( a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{k-1} = k(a_k -1 ) \) 양변에 \( a_k \) 를 더하면 \( a_1 + a_2 + a_3 + \cdot..

다음은 모든 자연수 \( n \) 에 대하여 부등식 \( 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{n} \geq 2 \left\{ \dfrac{1}{1 \cdot 2 } + \dfrac{1}{2\cdot 3 } + \cdots + \dfrac {1}{n(n+1)} \right\} \) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정이다. (i) \( n=1 \) 일 때, \( (좌변)=1 \geq 2 \times \dfrac {1}{1 \cdot 2 } = (우변) \) 이므로 주어진 부등식은 성립한다. (ii) \( n=k \; (k \geq 1 ) \) 일 때, 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면 \( 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{k} \..

다음은 모든 자여연수 \(n\) 에 대하여 \[\sum \limits _{k=1}^{n} (5k-3) \left ( \dfrac{1}{k} +\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2}+\cdots +\dfrac{1}{n} \right ) = \dfrac{n(5n+3)}{4}\] 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (1) \(n=1\) 일 때, (좌변)=\(2\), (우변)=\(2\) 이므로 주어진 등식은 성립한다. (2) \(n=m\) 일 때 성립한다고 가정하면 \[\sum \limits _{k=1}^{m} (5k-3) \left ( \dfrac{1}{k} +\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2}+\cdots +\dfrac{1}{m} \right ) = \dfrac{m..

\(2\) 이상의 자연수 \(n\) 에 대하여 부등식 \(\left ( 1+ {\displaystyle \frac{1}{n}} \right ) ^n >2\) 가 성립함이 알려져 있다. 다음은 이 사실을 이용하여 \(n\) 이 \(6\) 이상의 자연수일 때, 부등식 \(\left ( {\displaystyle \frac{n}{2}} \right ) >n!\) 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. (단, \(n!=1\times 2 \times 3 \times \cdots \times n\)) (i) \(n=6\) 일 때 \(3^6 = 729,\;\; 6!=720\) 이므로 성립한다. (ii) \(n=k\;\;(k\ge 6)\) 일 때 성립한다고 가정하면 \(\left ( {\displaystyle \..