등차수열의 일반항&등비수열의 합_난이도 중 (2028학년도 수능 예시 27번)

 

 

첫째항이 $1$이고 공차가 양수인 등차수열 $\{a_n\}$과 자연수 $n$에 대하여 직선 $y=a_n$이 곡선 $y=\log_2 x$와 만나는 점을 $\mathrm{P}_n$이라 하자. 점 $\mathrm{P}_n$을 지나고 $x$축에 수직인 직선이 $x$축 및 곡선 $y=x^2$과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}_n, \; \mathrm{B}_n$이라 하고, 삼각형 $\mathrm{A}_n\mathrm{B}_n\mathrm{P}_{n+1}$의 넓이를 $T_n$이라 하자. 

 

 

다음은 모든 자연수 $n$에 대하여 $\overline{\mathrm{OA}_n}:\overline{\mathrm{OA}_{n+1}}=1:4$일 때, $\sum \limits_{n=1}^5 T_n$의 값을 구하는 과정이다. (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.)

 

$a_n=\log_2x$일 때 $x=2^{a_n}$이므로 점 $\mathrm{A}_n$의 $x$좌표는 $2^{a_n}$이다.

$\overline{\mathrm{OA}_n}:\overline{\mathrm{OA}_{n+1}}=1:4$이므로 $$2^{a_n}:2^{a_{n+1}}=1:4$$이다. 그러므로 등차수열 $\{a_n\}$의 공차는 $\boxed{\text{ (가) }}$이다.

점 $\mathrm{B}_n$의 좌표는 $\left (2^{a_n}, \; 4^{a_n} \right )$이므로

$$\begin{aligned} T_n &= \dfrac{1}{2} \times \overline{\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n} \times \overline{\mathrm{A}_n \mathrm{A}_{n+1}} \\[7pt] &= \dfrac{1}{2} \times 4^{a_n} \times \left (2^{a_{n+1}} - 2^{a_n} \right ) \\[5pt] &= \boxed{\text{ (나) }} \times 8^{a_n} \end{aligned}$$ 이다. 수열 $\{a_n\}$ 이다. 수열 $\{a_n\}$은 첫째항이 $1$인 등차수열이므로 $$\sum \limits_{n=1}^5 T_n = \boxed{\text{ (다) }} \times \left ( 2^{30} -1 \right )$$ 이다.

 

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p, \; q, \; r$이라 할 때, $\dfrac{p}{q\times r}$의 값을 구하시오. 

 

정답 $7$