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목록수학1- 문제풀이 (569)
수악중독
자연수 $n \; (n \ge 2)$ 에 대하여 $m-2n$ 의 $n$ 제곱근 중에서 실수인 것의 개수를 $f(n)$ 이라 할 때, $f(2)+f(3)+f(4)=3$ 을 만족시키는 모든 자연수 $m$ 의 값의 합은? ① $18$ ② $23$ ③ $28$ ④ $33$ ⑤ $38$ 더보기 정답 ①
수열 $\{a_n\}$ 의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$ 이라 할 때, 두 수열 $\{a_n\}, \; \{S_n\}$ 과 상수 $k$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n +S_n = k$ 이다. $S_6=189$ 일 때, $k$ 의 값은? ① $192$ ② $196$ ③ $200$ ④ $204$ ⑤ $208$ 더보기 정답 ①
$1$ 이 아닌 세 양수 $a, \; b, \; c$ 가 $$-4\log_a b= 54 \log_b c = \log_c a$$ 를 만족시킨다. $b \times c$ 의 값이 $300$ 이하의 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 $a$ 의 값의 합은? ① $91$ ② $93$ ③ $95$ ④ $97$ ⑤ $99$ 더보기 정답 ⑤
그림과 같이 $2 \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AC}}$ 인 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 에 대하여 선분 $\mathrm{AB}$ 의 중점을 $\mathrm{M}$, 선분 $\mathrm{AC}$ 를 $3:5$ 로 내분하는 점을 $\mathrm{N}$ 이라 하자. $\overline{\mathrm{MN}}=\overline{\mathrm{AB}}$ 이고, 삼각형 $\mathrm{AMN}$ 의 외접원의 넓이가 $16\pi$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 넓이는? ① $24\sqrt{3}$ ② $13\sqrt{13}$ ③ $14\sqrt{14}$ ④ $15\sqrt{15}$ ⑤ $64$ 더보기 정답 ④
모든 항이 자연수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $a_1$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 $M, \; m$ 이라 할 때, $M-m$ 의 값은? (가) $a_5=63$ (나) 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+2} = \begin{cases} a_{n+1} + a_n & (a_{n+1} \times a_n \text{ 이 홀수인 경우}) \\a_{n+1}+a_n -2 & (a_{n+1} \times a_n \text{ 이 짝수인 경우}) \end{cases}$$ 이다. ① $16$ ② $19$ ③ $22$ ④ $25$ ⑤ $28$ 더보기 정답 ④
중심각의 크기가 $\dfrac{4}{5}\pi$ 이고 호의 길이가 $12\pi$ 인 부채꼴의 반지름의 길이를 구하시오. 더보기 정답 $15$ $12\pi = r \times \dfrac{4}{5}\pi$ $\therefore r = 15$
방정식 $\log_2 x -3=\log_x 16$ 을 만족시키는 모든 실수 $x$ 의 값의 곱을 구하시오. 더보기 정답 $8$
공차가 $d$ 인 등차수열 $\{a_n\}$ 이 다음 조건을 만족시키도록 하는 모든 자연수 $d$ 의 값의 합을 구하시오. (가) $a_8 = 2a_5 + 10$ (나) 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n \times a_{n+1} \ge 0$ 더보기 정답 $18$
두 상수 $a, \; b \; (0 \le b \le \pi)$ 에 대하여 닫힌구간 $\left [ \dfrac{\pi}{2}, \; a \right ]$ 에서 함수 $f(x)=2\cos(3x+b)$ 의 최댓값은 $1$ 이고, 최솟값은 $-\sqrt{3}$ 이다. $a\times b=\dfrac{q}{p}\pi^2$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $14$