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수악중독
양의 실수 \(k\) 에 대하여 곡선 \(y=k \ln x\) 와 직선 \(y=x\) 가 접할 때, 곡선 \(y= k \ln x\), 직선 \(y=x\) 및 \(x\) 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 \(ae^2 -be\) 이다. \(100ab\) 의 값을 구하시오. (단, \(a\) 와 \(b\) 는 유리수이다.) 정답 \(50\)
그림과 같이 길이가 \(12\) 인 선분 \(\rm AB\) 를 지름으로 하는 반원의 호 \(\rm AB\) 위에 \(\angle \rm PAB=\theta \; \left ( 0 < \theta < \dfrac{\pi}{6} \right )\) 인 점 \(\rm P\) 가 있다. \(\angle \rm APQ=3\theta\) 가 되도록 선분 \(\rm AB\) 위의 점 \(\rm Q\) 를 잡을 때, 두 선분 \(\rm PQ, \; QB\) 와 호 \(\rm BP\) 로 둘러싸인 부부의 넓이를 \(S(\theta)\) 라 하자. \(\lim \limits_{\theta \to +0} \dfrac{S(\theta)}{\theta}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(18\)
그림과 같이 평면 \(\alpha\) 위에 \(\angle {\rm A}=\dfrac{\pi}{2}, \; \overline{\rm AB} = \overline{\rm AC}=2\sqrt{3}\) 인 삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 중심이 점 \(\rm O\) 이고 반지름의 길이가 \(2\) 인 구가 평면 \(\alpha\) 와 점 \(\rm A\) 에서 접한다. 세 직선 \(\rm OA, \; OB, \; OC\) 와 구의 교점 중 평면 \(\alpha\) 까지의 거리가 \(2\) 보다 큰 점을 각각 \(\rm D, \; E, \; F\) 라 하자. 삼각형 \(\rm DEF\) 의 평면 \(\rm OBC\) 위로의 정사영의 넓이를 \(S\) 라 할 때, \(100S^2\) 의 값을 구하시오. 정..
좌표평면에서 자연수 \(n\) 에 대하여 그림과 같이 곡선 \(y=x^2\) 과 직선 \(y=\sqrt{n}x\) 가 제1사분면에서 만나는 점을 \({\rm P}_n\) 이라고 하자. 점 \({\rm P}_n\) 을 지나고 직선 \(y=\sqrt{n}x\) 에 수직인 직선이 \(x\) 축, \(y\) 축과 만나는 점을 각각 \({\rm Q}_n {\rm R}_n\) 이라 하자. 삼각형 \(\rm OQ_{\it n}R_{\it n}\) 의 넓이를 \(S_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{5} \dfrac{2S_n}{\sqrt{n}}\) 의 값은? (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) ① \(80\) ② \(85\) ③ \(90\) ④ \(95\) ⑤ \(100\) 정답 ③
지수부등식 \(\left ( 2^x -32 \right ) \left ( \dfrac{1}{3^x} - 27 \right )>0\) 을 만족시키는 모든 정수 \(x\) 의 개수는? ① \(7\) ② \(8\) ③ \(9\) ④ \(10\) ⑤ \(11\) 정답 ①
어떤 앰프에 스피커를 접속 케이블로 연결하여 작동시키면 접속 케이블의 저항과 스피커의 임피던스(스피커에 교류전류가 흐를 때 생기는 저항)에 따라 전송 손실이 생긴다. 접속 케이블의 저항을 \(R\), 스피커의 임피던스를 \(r\), 전송 손실을 \(L\) 이라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다. \[L=10 \log \left ( 1+\dfrac{2R}{r} \right )\] (단, 전송 손실의 단위는 \(\rm dB\), 접속 케이블의 저항과 스피커의 임피던스의 단위는 \(\omega\) 이다.)이 앰프에 임피던스가 \(8\) 인 스피커를 저항이 \(5\) 인 접속 케이블로 연결하여 작동시켰을 때의 전송 손실은 저항이 \(a\) 인 접속 케이블로 교체하여 작동시켰을 때의 전송 손실의 \(2\..
그림과 같이 곡선 \(y=-x^2+6\) 과 직선 \(y=x\) 가 제1사분면에서 만나는 점을 \(\rm A\) 라 하고, 점 \(\rm A\) 에서 \(x\) 축에 내린 수선의 발을 \(\rm B\) 라 하자. 직선 \(y=x\) 위의 점 \({\rm P}(a, \;a)\) 에서 선분 \(\rm AB\) 에 내린 수선을 발을 \(\rm Q\) 라 하고, 점 \(\rm P\) 를 지나고 \(y\) 축에 평행한 직선이 곡선 \(y=-x^2+6\) 과 만나는 점을 \(\rm R\) 라 할 때, \(\lim \limits_{a \to 2-0} \dfrac{\overline{\rm PQ}}{\overline{\rm PR}}\) 의 값은? (단, \(0
자연수 \(n\) 에 대하여 그림과 같이 두 점 \({\rm A}_n (n, \;0), \; {\rm B}_n (0, \; n+1) \) 이 있다. 삼각형 \(\rm A_{\it n}B_{\it n}\) 에 내접하는 원의 중심을 \({\rm C}_n\) 이라 하고, 두 점 \(\rm B_{\it n}\) 과 \(\rm C_{\it n}\) 을 지나는 직선이 \(x\) 축과 만나는 점을 \(\rm P_{\it n}\) 이라 하자. \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\overline{\rm OP_{\it n}}}{n}\) 의 값은? (단, \(\rm O\) 는 원점이다.)① \(\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}\) ② \(\sqrt{2}-1\) ③ \(2-\sqrt{2}..
그림과 같이 한 변의 길이가 \(2\) 인 정사각형 모양의 종이 \(\rm ABCD\) 에서 각 변의 중점을 각각 \(\rm A_1, \; B_1, \; C_1, \; D_1\) 이라 하고 \(\overline{\rm A_1 B_1}, \; \overline{\rm B_1C_1}, \; \overline{\rm C_1D_1}, \; \overline{\rm D_1A_1}\) 을 접는 선으로 하여 네 점 \(\rm A, \; B, \; C, \; D\) 가 한 점에서 만나도록 접은 모양을 \(S_1\) 이라 하자.\(S_1\) 에서 정사각형 \(\rm A_1 B_1 C_1 D_1\) 의 각 변의 중점을 각각 \(\rm A_2, \; B_2, \; C_2, \; D_2\) 이라 하고 \(\overline{\..