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수악중독
한 개의 주사위를 \(4\) 번 던질 때 \(6\) 의 약수의 눈이 \(2\) 번 나올 확률을 \(p_1\) 이라 하고, 한 개의 동전을 \(3\) 번 던질 때 동전의 앞면이 \(2\) 번 나올 확률을 \(p_2\) 라 하자. \(\dfrac{1}{p_1p_2}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(9\)
다음 [단계]에 따라 반지름의 길이가 같은 원들을 외접하도록 그린다. [단계 1] \(3\) 개의 원을 외접하게 그려서 을 얻는다.[단계 2] 의 아래에 \(3\) 개의 원을 외접하게 그려서 를 얻는다.[단계 3] 의 아래에 \(4\) 개의 원을 외접하게 그려서 을 얻는다.\[\vdots\][단계 \(m\)] 의 아래에 \((m+1)\) 개의 원을 외접하게 그려서 을 얻는다. (\(m \ge 2)\) 에 그려진 원의 모든 접점의 개수를 \(a_n\) \((n=1, \;2., \;3, \; \cdots)\) 이라 하자. 예를 들어, \(a_1=3,\; a_2=9\) 이다. \(a_{10}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(165\)
그림과 같이 세 로그함수 \(f(x)=k \log x\), \(g(x)=k^2 \log x\), \(h(x)=4k^2 \log x\) 의 그래프가 있다. 점 \(\rm P(2, \;0)\) 을 지나고 \(y\) 축에 평행한 직선이 두 곡선 \(y=g(x), \; y=h(x)\) 와 만나는 점의 \(y\) 좌표를 각각 \(p ,\; q\) 라 하자. 직선 \(y=p\) 와 곡선 \(y=f(x)\) 가 만나는 점을 \({\rm Q}(a, \;p)\), 직선 \(y=q\) 와 곡선 \(y=g(x)\) 가 만나는 점을 \({\rm R}(b, \;q)\) 라 하자. 세 점 \(\rm P, \;Q, \;R\) 가 한 직선 위에 있을 때, 두 실수 \(a, \; b\) 의 곱 \(ab\) 의 값을 구하시오. (단, ..
최고차항의 계수가 \(1\) 이고 다음 조건을 만족시키는 모든 삼차함수 \(f(x)\) 에 대하여 \(\displaystyle \int_0^3 f(x) dx\) 의 최솟값을 \(m\) 이라 할 때, \(4m\) 의 값을 구하시오. (가) \(f(0)=0\)(나) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f'(2-x)=f'(2+x)\) 이다.(다) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f'(x) \ge -3\) 이다. 정답 \(27\)
구간 \((0,\; \infty)\) 에서 정의된 함수 \(f(x)=\dfrac{p}{x}\; (p>1)\) 의 그래프는 그림과 같다. 곡선 \(y=f(x)\) 와 \(x\) 축 및 두 직선 \(x=1, \; x=p\) 로 둘러싸인 부분을 \(x\) 축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피가 \(20\pi\) 일 때, 상수 \(p\) 의 값은? ① \(\dfrac{17}{4}\) ② \(\dfrac{9}{2}\) ③ \(\dfrac{19}{4}\) ④ \(5\) ⑤ \(\dfrac{21}{4}\) 정답 ④
그림과 같이 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}=5,\; \overline{\rm BC}=2\sqrt{7}\) 인 삼각형 \(\rm ABC\) 가 \(xy\) 평면 위에 있고, 점 \(\rm P(1, \; 1,\; 4)\) 의 \(xy\) 평면 위로의 정사영 \(\rm Q\) 는 삼각형 \(\rm ABC\) 의 무게중심과 일치한다. 점 \(\rm P\) 에서 직선 \(\rm BC\) 까지의 거리는?① \(3 \sqrt{2}\) ② \(\sqrt{19}\) ③ \(2\sqrt{5}\) ④ \(\sqrt{21}\) ⑤ \(\sqrt{22}\) 정답 ①
모든 항이 양수인 수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1 = \dfrac{1}{4}\) 이고 \[ (n+1)a_n=a_{n+1}(3n-2a_n) \; ( n \ge 1)\] 을 만족시킨다. 다음은 일반항 \(a_n\) 을 구하는 과정이다. 주어진 식의 양변을 \(a_n a_{n+1}\) 로 나누면 \(\dfrac{n+1}{a_{n+1}}=\dfrac{3n-2a_n}{a_n}\)이다. \(b_n=\dfrac{n}{a_n}\) 이라 하면 \(b_{n+1}=3b_n + (가) \)이고, \(b_{n+1}-1=3(b_n-1)\) 이다.\(b_1=4\) 이므로 \(b_n= (나)\) \(b_n = (나) +1\)이다. 그러므로 \(a_n=\dfrac{n}{(나)+1} \; (n\ge 1)\)이다. 위의 (가)에..
그림과 같이 포물선 \(y^2=8x\) 위의 네 점 \(\rm A, \; B,\;C,\;D\) 를 꼭짓점으로 하는 사각형 \(\rm ABCD\) 에 대하여 두 선분 \(\rm AB\) 와 \(\rm CD\) 가 각각 \(y\) 축과 평행하다. 사각형 \(\rm ABCD\) 의 두 대각선의 교점이 포물선의 초점 \(\rm F\) 와 일치하고 \(\overline{\rm DF}=6\) 일 때, 사각형 \(\rm ABCD\) 의 넓이는? ① \(14\sqrt{2}\) ② \(15\sqrt{2}\) ③ \(16\sqrt{2}\) ④ \(17\sqrt{2}\) ⑤ \(18\sqrt{2}\) 정답 ⑤
그림과 같이 \(1, \;2,\;3,\;4,\;5,\;6\) 의 숫자가 한 면에만 각각 적혀 있는 \(6\) 장의 카드가 일렬로 놓여 있다. 주사위 한 개를 던져서 나온 눈의 수가 \(2\) 이하이면 가장 작은 숫자가 적혀 있는 카드 \(1\) 장을 뒤집고, \(3\) 이상이면 가장 작은 숫자가 적혀 있는 카드부터 차례로 \(2\) 장의 카드를 뒤집는 시행을 한다. \(3\) 번째 시행에서 \(4\) 가 적혀 있는 카드가 뒤집어질 확률은? (단, 모든 카드는 한 번만 뒤집는다.)① \(\dfrac{4}{9}\) ②\(\dfrac{13}{27}\) ③ \(\dfrac{14}{27}\) ④ \(\dfrac{5}{9}\) ⑤ \(\dfrac{16}{27}\) 정답 ③
구간 \((0,\; \infty)\) 에서 연속인 함수 \(f(x)\) 의 한 부정적분을 \(F(x)\) 라 할 때, 함수 \(F(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 양수 \(x\) 에 대하여 \(F(x)+xf(x)=(2x+2)e^x\)(나) \(F(1)=2e\) \(F(3)\) 의 값은? ① \(\dfrac{1}{4}e^3\) ② \(\dfrac{1}{2}e^3\) ③ \(e^3\) ④ \(2e^3\) ⑤ \(4e^34\) 정답 ④