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목록확률과 통계 - 문제풀이/확률 (66)
수악중독
앞면에는 $1$ 부터 $6$ 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있고 뒷면에는 모두 $0$ 이 하나씩 적혀 있는 $6$ 장의 카드가 있다. 이 $6$ 장의 카드가 그림과 같이 $6$ 이하의 자연수 $k$ 에 대하여 $k$ 번째 자리에 자연수 $k$ 가 보이도록 놓여 있다. 이 $6$ 장의 카드와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다. 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $k$ 이면 $k$ 번재 자리에 놓여 있는 카드를 한 번 뒤집어 제자리에 놓는다. 위의 시행을 $3$ 번 반복한 후 $6$ 장의 카드에 보이는 모든 수의 합이 짝수일 때, 주사위의 $1$ 의 눈이 한 번만 나왔을 확률은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더..
주머니 $\rm A$ 에 흰 공 $3$ 개, 검은 공 $1$ 개가 들어 있고, 주머니 $\rm B$ 에도 흰 공 $3$ 개, 검은 공 $1$ 개가 들어 있다. 한 개의 동전을 사용하여 [실행 1] 과 [실행 2]를 순서대로 하려고 한다. [실행 1] 한 개의 동전을 던져 앞면이 나오면 주머니 $\rm A$ 에서 임의로 $2$ 개의 공을 꺼내어 주머니 $\rm B$ 에 넣고, 뒷면이 나오면 주머니 $\rm A$ 에서 임의로 $3$ 개의 공을 꺼내어 주머니 $\rm B$ 에 넣는다. [실행2] 주머니 $\rm B$ 에서 임의로 $5$ 개의 공을 꺼내어 주머니 $\rm A$ 에 넣는다. [실행 2]가 끝난 후 주머니 $\rm B$ 에 흰 공이 남아 있지 않을 때, [실행 1]에서 주머니 $\rm B$ 에 넣은..
그림과 같이 두 주머니 $\rm A$ 와 $\rm B$ 에 흰 공 $1$개, 검은 공 $1$개가 각각 들어 있다. 주머니 $\rm A$ 에 들어 있는 공의 개수 또는 주머니 $\rm B$ 에 들어 있는 공의 개수가 $0$ 이 될 때까지 다음의 시행을 반복한다. 두 주머니 $\rm A, \; B$ 에서 각각 임의로 하나씩 꺼낸 두 개의 공이 서로 같은 색이면 꺼낸 공을 모두 주머니 $\rm A$ 에 넣고, 서로 다른 색이면 꺼낸 공을 모두 주머니 $\rm B$ 에 넣는다. $4$번째 시행의 결과 주머니 $\rm A$ 에 들어 있는 공의 개수가 $0$ 일 때, $2$번째 시행의 결과 주머니 $\rm A$ 에 들어 있는 흰 공의 개수가 $1$ 이상일 확률은 $p$ 이다. $36p$ 의 값을 구하시오. 더보기 ..
$1$ 부터 $10$ 까지의 자연수 중에서 임의로 서로 다른 $3$ 개의 수를 선택한다. 선택된 세 개의 수의 곱이 $5$ 의 배수이고 합은 $3$ 의 배수일 확률은? ① $\dfrac{3}{20}$ ② $\dfrac{1}{6}$ ③ $\dfrac{11}{60}$ ④ $\dfrac{1}{5}$ ⑤ $\dfrac{13}{60}$ 더보기 정답 ③
$1$ 부터 $6$ 까지의 자연수가 하나씩 적힌 $6$ 장의 카드가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 장의 카드를 꺼내어 카드에 적힌 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 $4$ 번 반복하여 확인한 네 개의 수의 평균을 $\overline{X}$ 라 할 때, ${\rm P} \left (\overline{X} = \dfrac{11}{4} \right ) = \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $175$
각 면에 숫자 $1, \; 1, \; 2, \; 2, \; 2, \; 2$ 가 하나씩 적혀 있는 정육면체 모양의 상자가 있다. 이 상자를 $6$ 번 던질 때, $n\; (1 \le n \le 6)$ 번째에 바닥에 닿은 면에 적혀 있는 수를 $a_n$ 이라 하자. $a_1 + a_2 + a_3 > a_4 + a_5 + a_6$ 일 때, $a_1=a_4=1$ 일 확률은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $133$
주머니에 $1$ 부터 $12$ 까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 이는 $12$ 개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 $3$ 개의 공을 동시에 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 작은 수부터 크기 순서대로 $a, \; b, \; c$ 라 하자. $b-a \ge 5$ 일 때, $c-a \ge 10$ 일 확률은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $9$
흰 공과 검은 공이 각각 $10$ 개 이상 들어 있는 바구니와 비어 있는 주머니가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다. 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $5$ 이상이면 바구니에 있는 흰 공 $2$ 개를 주머니에 넣고, 나온 눈의 수가 $4$ 이하이면 바구니에 있는 검은 공 $1$ 개를 주머니에 넣는다. 위의 시행을 $5$ 번 반복할 때, $n \; (1 \le n \le 5)$ 번째 시행 후 주머니에 들어 있는 흰 공과 검은 공의 개수를 각각 $a_n, \; b_n$ 이라 하자. $a_5 + b_5 \ge 7$ 일 때, $a_k=b_k$ 인 자연수 $k \; (1 \le k \le 5)$ 가 존재할 확률은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$..
집합 $X=\{x \; | \; x \text{는} \; 8 \; \text{이하의 자연수} \}$ 에 대하여 $X$ 에서 $X$ 로의 함수 $f$ 중에서 임의로 하나를 선택한다. 선택한 함수 $f$ 가 $4$ 이하의 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $f(2n-1)