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목록수학2 - 문제풀이 (354)
수악중독
$a>\sqrt{2}$ 인 실수 $a$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x)=-x^3+ax^2+2x$$ 라 하자. 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\mathrm{O}(0, \; 0)$ 에서의 접선이 곡선 $y=f(x)$ 와 만나는 점 중 $\mathrm{O}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{A}$ 라 하고, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\mathrm{A}$ 에서의 접선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{B}$ 라 하자. 점 $\mathrm{A}$ 가 선분 $\mathrm{OB}$ 를 지름으로 하는 원 위의 점일 때, $\overline{\mathrm{OA}}\times \overline{\mathrm{AB}}$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $25$
최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 함수 $f(x)$ 에 대하여 $$f(k-1)f(k+1)
두 자연수 $m, \; n$ 에 대하여 함수 $f(x)=x(x-m)(x-n)$ 이 $$f(1)f(3)
곡선 $y=\dfrac{1}{3}x^2+1$ 과 $x$ 축, $y$ 축 및 직선 $x=3$ 으로 둘러싸인 부분의 넓이는? ① $6$ ② $\dfrac{20}{3}$ ③ $\dfrac{22}{3}$ ④ $8$ ⑤ $\dfrac{26}{3}$ 더보기 정답 ①
두 함수 $$f(x)=-x^4-x^3+2x^2, \quad g(x)=\dfrac{1}{3}x^3 -2x^2+a$$ 가 있다. 모든 실수 $x$ 에 대하여 부등식 $$f(x) \le g(x)$$ 가 성립할 때, 실수 $a$ 의 최솟값은? ① $8$ ② $\dfrac{26}{3}$ ③ $\dfrac{28}{3}$ ④ $10$ ⑤ $\dfrac{32}{3}$ 더보기 정답 ⑤
실수 $t\; (t>0)$ 에 대하여 직선 $y=tx+t+1$ 과 곡선 $y=x^2-tx-1$ 이 만나는 두 점을 $\mathrm{A, \; B}$ 라 할 때, $\lim \limits_{t \to \infty}\dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{t^2}$ 의 값은? ① $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ② $1$ ③ $\sqrt{2}$ ④ $2$ ⑤ $2\sqrt{2}$ 더보기 정답 ④
양수 $k$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x)= \left | x^3-12x+k \right |$$ 라 하자. 함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 직선 $y=a \; (a \ge 0)$ 이 만나는 서로 다른 점의 개수가 홀수가 되도록 하는 실수 $a$ 의 값이 오직 하나일 때, $k$ 의 값은? ① $8$ ② $10$ ③ $12$ ④ $14$ ⑤ $16$ 더보기 정답 ⑤
삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=(x+2)f(x)$$ 라 하자. 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(3, \; 2)$ 에서의 접선의 기울기가 $4$ 일 때, $g'(3)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $22$ $g'(x)=f(x)+ (x+2)f'(x)$ 이고 $f(3)=2)$, $f'(3)=4$ 이므로 $g'(3)=f(3)+5 f'(3)=2+5\times 4 = 22$
다향함수 $f(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$2x^2f(x)=3 \displaystyle \int_0^x (x-t)\{ f(x)+f(t)\}dt$$ 를 만족시킨다. $f'(2)=4$ 일 때, $f(6)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $24$
삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 구간 $(0, \; \infty)$ 에서 정의된 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\begin{cases} x^3-8x^2+16x & (04) \end{cases}$$ 라 하자. 함수 $g(x)$ 가 구간 $(0, \; \infty)$ 에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시킬 때, $g(10)=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) (가) $g \left (\dfrac{21}{2} \right )=0$ (나) 점 $(-2, \; 0)$ 에서 곡선 $y=g(x)$ 에 그은, 기울기가 $0$ 이 아닌 접선이 오직 하나 존재한다. 더보기 정답 $29$