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목록(고1) 수학 - 문제풀이/방정식과 부등식 (235)
수악중독
부등식 $|x-5|
$x$ 에 대한 이차방정식 $x^2+2ax+a^2+4a-28=0$ 이 실근을 갖도록 하는 모든 자연수 $a$ 의 개수를 구하시오. 더보기 정답 $7$ 주어진 이차방정식의 판별식을 $D$ 라고 하면 $\dfrac{D}{4}= a^2 -a^2 -4a+28 \ge 0$ $\therefore a \le 7$ 모든 자연수 $a$ 의 개수는 $1,\; 2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6, \; 7$ 의 7개다.
$x$ 에 대한 이차방정식 $x^2-px+p+19=0$ 이 서로 다른 두 허근을 갖는다. 한 허근의 허수부분이 $2$ 일 때, 양의 실수 $p$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $10$ 실계수 이차방정식이므로 주어진 이차방정식의 한 허근을 $a+2i$ 라고 하면 나머지 한 근은 $a-2i$ 가 된다. 이차방정식 근과 계수와의 관계를 이용하면 $2a=p, \; a^2+4=p+19$ 이므로 $a^2-2a-15=0$ $(a-5)(a+3)=0$ $\therefore p=2a=2 \times 5 = 10 \; (\because p>0)$
부등식 $|2x-3| \lt 5$ 의 해가 $a \lt x \lt b$ 일 때, $a+b$ 의 값은? ① $2$ ② $\dfrac{5}{2}$ ③ $3$ ④ $\dfrac{7}{2}$ ⑤ $4$ 더보기 정답 ③
이차함수 $y=x^2 +5x+9$ 의 그래프와 직선 $y=x+k$ 가 만나지 않도록 하는 자연수 $k$ 의 개수는? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ④
$x=1-2i, \; y=1+2i$ 일 때, $x^3y+xy^3-x^2-y^2$ 의 값은? (단, $i=\sqrt{-1}$) ① $-24$ ② $-22$ ③ $-20$ ④ $-18$ ⑤ $-16$ 더보기 정답 ①
연립방정식 $$\begin{cases} 4x^2-y^2=27 & \\ 2x+y=3 & \end{cases}$$ 의 해를 $x=\alpha, \; y=\beta$ 라 할 때, $\alpha-\beta$ 의 값은? ① $2$ ② $4$ ③ $6$ ④ $8$ ⑤ $10$ 더보기 정답 ③
$x$ 에 대한 이차방정식 $2x^2+ax+b=0$ 의 한 근이 $2-i$ 일 때 $b-a$ 의 값은? (단, $a, \; b$ 는 실수이고, $i=\sqrt{-1}$ 이다.) ① $12$ ② $14$ ③ $16$ ④ $18$ ⑤ $20$ 더보기 정답 ④
$x$ 에 대한 삼차방정식 $x^3-(2a+1)x^2+(a+1)^2x-\left (a^2+1 \right )=0$ 의 서로 다른 두 허근을 $\alpha, \; \beta$ 라 하자. $\alpha + \beta = 8$ 일 때, $\alpha \beta$ 의 값은? (단, $a$ 는 실수이다.) ① $16$ ② $17$ ③ $18$ ④ $19$ ⑤ $20$ 더보기 정답 ②