수악중독

$1 \le k \le n$ 인 두 자연수 $k, \; n$ 에 대하여 $S(k)= \sum \limits_{i=1}^{n} |k-i|$ 일 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $n=9$ 일 때, $S(8)=29$ 이다.ㄴ. $n=m$ 일 때, $S(1)=S(m)$ 이다.다. $n=25$ 일 때, $S(k)$ 의 최솟값은 $156$ 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

유리함수 $f(x)=\dfrac{bx+c}{x+a}$ ( $a, \;b, \;c$ 는 상수) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $y=f(x)$ 의 그래프는 점 $(0, \;1)$ 에 대하여 대칭이다.(나) $f(-4)=0$ 함수 $y=f(x)$ 의 그래프 위의 제1사분면 위의 점 $\rm P$ 에서 $x$ 축, $y$ 축에 내린 수선의 발을 각각 $\rm A, \; B$ 라 할 때, $\overline{\rm AP} + \overline{\rm BP}$ 의 최솟값은 $m$ 이다. $10m$ 의 값을 구하시오. 정답 $50$

자연수 $n$ 에 대하여 $\log n$ 의 정수부분을 $f(n)$, 소수부분을 $g(n)$ 이라 하자. $10$ 이하의 자연수 $x$ 와 $100$ 이하의 자연수 $y$ 에 대하여 두 등식 $$2 f(x)-f(y)=0, \;\; 2g(x)-g(y)=0$$ 을 모두 만족시키는 순서쌍 $(x, \; y)$ 의 개수를 구하시오. 정답 $4$

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^n (2k-1)(2n+1-2k)^2=\dfrac{n^2 \left (2n^2+1 \right )}{3}$$ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (i) $n=1$ 일 때, (좌변)=$1$, (우변)=$1$ 이므로 주어진 등식은 성립한다.(ii) $n=m$ 일 때, 등식 $\sum \limits_{k=1}^m(2k-1)(2m+1-2k)^2=\dfrac{m^2 \left (2m^2 +1 \right )}{3} $ 이 성립한다고 가정하자. $n=m+1$ 일 때, $\sum \limits_{k=1}^{m+1} (2k-1)(2m+3-2k)^2$ $=\sum \limits_{k=1}^m(2k-1)(2m+3-2k)^2 + (가) $ ..

첫째항이 $3$ 인 등차수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $\sum \limits_{n=1}^{10} (a_{5n}-a_n)=440$ 일 때, $\sum \limits_{n=1}^{10} a_n$ 의 값을 구하시오. 정답 $120$

전체집합 $U=\{1, \;2, \;3, \;4, \;5, \;6, \;7\}$ 의 두 부분집합 $$A=\{1, \;2, \;3\}, \;\; B=\{2, \;3, \;4, \;5\}$$ 에 대하여 집합 $P$ 를 $$P=(A \cup B) \cap (A \cap B)^C$$ 이라 하자. $P \subset X \subset U$ 를 만족시키는 집합 $X$ 의 개수를 구하시오. 정답 $16$ $$\begin{aligned} P &= (A \cup B) \cap (A \cap B)^C \\ &=(A \cup B) - (A \cap B) \\&=\{1, \;4, \;5\} \end{aligned}$$따라서 $X$는 $U$ 의 부분집합 중 $P=\{1, \;4, \;5\}$ 를 반드시 포함하는 부분집합이 된다..

집합 $X=\{1, \;2, \;3, \;4\}$ 에 대하여 $X$ 에서 $X$ 로의 일대일 대응인 함수 $f$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 집합 $X$ 의 모든 원소 $x$ 에 대하여 $(f \circ f)(x)=x$ 이다.(나) 집합 $X$ 의 어떤 원소 $x$ 에 대하여 $f(x)=2x$ 이다. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $f(3)=f^{-1}(3)$ㄴ. $f(1)=3$ 이면 $f(2)=4$ 이다.ㄷ. 가능한 함수 $f$ 의 개수는 $4$ 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

어느 학교 학생 $200$ 명을 대상으로 두 체험 활동 $\rm A, \; B$ 를 신청한 학생 수를 조사하였더니 체험 활동 $\rm A$ 를 신청한 학생은 체험활동 $\rm B$ 를 신청한 학생보다 $20$ 명이 많았고, 어느 체험 활동도 신청하지 않은 학생은 하나 이상의 체험 활동을 신청한 학생보다 $100$ 명이 적었다. 체험 활동 $\rm A$ 만 신청한 학생 수의 최댓값을 구하시오. 정답 $85$

두 집합 $ A=\left \{ (x, \;y) \;|\; y \le 2-x^2 \right \}$ $B=\{(x, \;y) \;|\; a \le x \le y \le a+1\}$에 대하여 $A \cap B = B$ 를 만족시키는 실수 $a$ 의 최솟값은? ① $\dfrac{-2-3\sqrt{5}}{2}$ ② $\dfrac{-1-3 \sqrt{5}}{2}$ ③ $\dfrac{-1-2\sqrt{5}}{2}$ ④ $\dfrac{-2-\sqrt{5}}{2}$ ⑤ $\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$ 정답 ⑤

그림과 같이 유리함수 $y=\dfrac{k}{x} \;(k>0)$ 의 그래프가 직선 $y=-x+6$ 과 두 점 $\rm P, \;Q$ 에서 만난다. 삼각형 $\rm OPQ$ 의 넓이가 $14$ 일 때, 상수 $k$ 의 값은? (단, $\rm O$ 는 원점이다.)① $\dfrac{32}{9}$ ② $\dfrac{34}{9}$ ③ $4$ ④ $\dfrac{38}{9}$ ⑤ $\dfrac{40}{9}$ 정답 ①