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목록(9차) 미적분 II 문제풀이/적분 (128)
수악중독
이 문제는 2017학년도 샤인미 모의고사 1회 30번 문제입니다. 풀이 영상 공유를 허락해 주신 출제자님께 감사드립니다. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 할 때, 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(1)=g(1)$ (나) 세 실수 $a, \; b, \; c$ 와 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $0 \le x \le 1$ 일 때, $f(x+n)=g\left (\dfrac{a}{x-b}+cx \right ) +n$ 이다. 연속함수 $f'(x)$ 와 임의의 음이 아닌 두 실수 $x_1, \; x_2$ 에 대하여 $$\{ f'(x_1) - f'(x_2) \}(x_1-x_2) \ge 0$$일 때, $\displaystyle ..
구간 $[1, \; 2]$ 에서 연속이고 구간 $(1, \;2)$ 에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 에 대하여 직선 $y=x-t\; \; (0 \le t \le 2)$ 와 곡선 $y=f(x)$ 가 오직 한 점에서 만날 때, 그 점의 $x$ 좌표를 $g(t)$ 라고 하자. 함수 $g(t)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $\displaystyle \int_1^2 f(x) \; dx = \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) (가) $g(t)$ 는 구간 $[0, \; 2]$ 에서 연속이면서 증가하고 $g(0)=1, \; g(2)=2$ 이다.(나) $\displaystyle \int_0^2 g(t) \; dt = \dfrac{19}{6..
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 와 그 역함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 점 $(3, \; 5)$ 에 대하여 대칭이다.(나) $2 \le x \le 4$ 일 때, $f(x)=\displaystyle \int_x^2 \dfrac{f(6-t)}{t}\; dt + 11 \ln \dfrac{x}{2} + 3$ 이다.(다) $f(5)=10-a $ 를 만족시키는 상수 $a$ 에 대하여 $\displaystyle \int_a^5 \ln g(x) \; dx = 8 \ln 2 + 6 \ln 3 -9$ 이다. $\displaystyle \int_1^4 \dfrac{f(x)}{x} \; dx = p+q \ln 2 $ 일 때, $p^2 + q^2$ 의 ..
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $x \ge 2$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)>0$, $f(x)= \sqrt{2}e^2 + \displaystyle \int_2^x \dfrac{2 \left (t^2-t \right) e^{2t}}{f(t)} dt$ 이다.(나) $x
실수 $a$ 와 함수 $f(x)=\ln \left ( x^4+1\right ) -c$ ($c>0$인 상수) 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\; dt$$ 라 하자. 함수 $y=g(x)$ 의 그래프가 $x$ 축과 만나는 서로 다른 점의 개수가 $2$ 가 되도록 하는 모든 $a$ 의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열하면 $\alpha_1, \;\alpha_2, \; \cdots, \; \alpha_m$ ($m$ 은 자연수)이다. $a=\alpha_1$ 일 때 함수 $g(x)$ 와 상수 $k$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 $x=1$ 에서 극솟값을 갖는다.(나) $\displaystyle \int_{\alpha_1}^{\a..
열린 구간 $\left ( - \dfrac{\pi}{2}, \; \dfrac{\pi}{2} \right )$ 에서 미분가능하고 $f(0)=1$ 인 함수 $f(x)$ 가 $- \dfrac{\pi}{2} 0$(나) $\left ( \dfrac{1}{f(x) \cos x} \right )^{\prime} = \dfrac{x}{\cos x}$ $g(x) = \displaystyle \int_0^x \dfrac{\tan t}{f(t)} \; dt$ 라 할 때, $g(4) + \dfrac{1}{f(4)}$ 의 값을 구하시오. 정답 $9$
닫힌 구간 $[-3, \; 3]$ 에서 증가하는 연속함수 $f(x)$ 가 이 구간의 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(-x)=-f(x)$ 를 만족시킨다. 함수 $F(x)$ 를 $$F(x) = \displaystyle \int_0^x |f(t)| dt $$ 라 할 때, $F(3)=1$ 이다. $\displaystyle \int_{-3}^3 f(x) f ( F(x) ) dx = \dfrac{1}{10}$ 일 때, $F(1)$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{20}$ ② $\dfrac{1}{25}$ ③ $\dfrac{1}{30}$ ④ $\dfrac{1}{35}$ ⑤ $\dfrac{1}{40}$ 정답 ①
열린 구간 $\left ( 0, \; \dfrac{\pi}{2} \right )$ 에서 정의된 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 이 구간에 속하는 모든 실수 $x$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(x)>0$(나) $f(x)=2\sqrt{f(x)}\sin x - \displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^x \dfrac{f'(t) \sin t}{\sqrt{f(t)}} dt$ 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $f \left (\dfrac{\pi}{6} \right ) =1 $ㄴ. $\dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}} = \cos x$ㄷ. $f \left (\dfrac{\pi}{3} \right ) = \dfrac{2+ \sqrt{3}}{2}$ ① ..
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 역함수 $g(x)$ 를 갖고 $$f(1)=2, \;\; f(2)=4, \;\; \displaystyle \int_1^2 f(x) dx = \dfrac{8}{3}$$ 을 만족시킨다. 함수 $f \left ( e^x -1 \right )$ 의 역함수를 $h(x)$ 라 할 때, $\displaystyle \int_2^4 \dfrac{g'(x)}{h'(x)} dx = \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $19$
그림과 같이 반지름의 길이가 $1$ 인 원을 밑면으로 하는 원기둥 모양의 나무막대 $\rm A$ 와 한 변의 길이가 $\sqrt{2}$ 인 정사각형을 밑면으로 하는 사각기둥 모양의 나무막대 $\rm B$ 가 있다.두 나무막대가 중심축이 $30^{\rm o}$ 를 이루며 교차할 때, 두 나무막대의 공통 부분의 부피는 $a\pi +b$ 이다. $ 10a+3b$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 유리수이고, 나무막대 $\rm B$ 의 중심축에 수직인 단면의 두 대각선 중 하나는 두 나무막대의 중심축을 포함하는 평면과 수직이며, 다른 하나는 중심축을 포함하는 평면에 포함된다.) 정답 $24$