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목록(9차) 미적분 II 문제풀이/적분 (128)
수악중독
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 두 실수 $a, \; b\; \left (0
함수 $f(x)=\displaystyle \int_0^x \sin (\pi \cos t) \; dt$ 에 대하여 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $f'(0)=0$ ㄴ. 함수 $y=f(x)$ 의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. ㄷ. $f(\pi)=0$ ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤
함수 $$f(x)=\left \{ \begin{array}{lc} e^x & (0 \le x < 1) \\ e^{2-x}&(1 \le x \le 2) \end{array} \right . $$ 에 대하여 열린 구간 $(0, \; 2)$ 에서 정의된 함수 $$g(x) = \displaystyle \int_0^x |f(x)-f(t)|\;dt$$ 의 극댓값과 극솟값의 차는 $ae+b\sqrt[3]{e^2}$ 이다. $(ab)^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 유리수이다.) 정답 $36$
실수 $t$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x)=\left \{ \begin{array}{cc} 1-|x-t| & (|x-t|\le 1) \\ 0 & (|x-t|>1) \end{array}\right .$$ 이라 할 때, 어떤 홀수 $k$ 에 대하여 함수 $$g(t)= \displaystyle \int_k^{k+8} f(x) \cos(\pi x)\; dx $$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 함수 $g(t)$ 가 $t=\alpha$ 에서 극소이고 $g(\alpha)
그림과 같이 길이가 2 인 선분 $\rm AB$ 위의 점 $\rm P$ 를 지나고 선분 $\rm AB$ 에 수직인 직선이 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원과 만나는 점을 $\rm Q$ 라 하자. $\overline{\rm AP}=x$ 라 할 때, $S(x)$ 를 다음과 같이 정의한다. $0
$x>0$ 에서 정의된 미분가능한 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $xf'(x)-g(x)=0, \;\; f(x)-xg'(x)=0$(나) $f(x) > |g(x)|$(다) $f(1)=3, \;\; g(1)=2$ 함수 $h(x)$ 를 $h(x)=\{f(x)\}^2+\{g(x)\}^2$ 이라 하면, 함수 $h(x)$ 는 $x=\alpha$ 에서 최솟값 $m$ 을 갖는다. $(\alpha m)^2$ 의 값을 구하시오. 정답 $5$
수열 $\{a_n\}$ 이 $$a_1=-1, \;\; a_n=2-\dfrac{1}{2^{n-2}}\;\; (n\ge 2)$$ 이다. 구간 $[-1, \; 2)$ 에서 정의된 함수 $f(x)$ 가 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$f(x)=\sin \left ( 2^n \pi x \right ) \;\; (a_n \le x \le a_{n+1})$$ 이다. $-1
실수 전체의 집합에서 이계도함수가 존재하는 함수 $f(x)$ 와 그 역함수 $g(x)$ 에 대하여 함수 $h(x)$ 를 $$h(x) = \displaystyle \int_x^{g(x)} f(t) \; dt$$ 라 하자. 두 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f'(x)>0$ 이고, $f''(2)
다음은 $x$ 의 값의 범위에 따른 함수 $f(x)$ 의 증감표의 일부이다. $x$ $x=4$ $4
함수 $f(x)=\dfrac{1}{e}x^4-ex^2+c$ ($c$ 는 상수)와 실수 $a$ 에 대하여 함수 $g(x)$를 $g(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\; dt$ 라 하자. 함수 $y=g(x)$ 의 그래프가 $x$ 축과 서로 다른 두 점에서만 만나도록 하는 모든 $a$ 의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열하면 $\alpha_1, \; \alpha_2, \; \cdots, \; \alpha_n$ ($n$ 은 자연수) 이다. $a=\alpha_n$ 일 때, 함수 $g(x)$ 와 상수 $k$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 $x=e$ 에서 극솟값을 갖는다.(나) $\displaystyle \int_{\alpha_n}^{\alpha_1} g(x)\; dx..