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목록(9차) 미적분 II 문제풀이/적분 (128)
수악중독
실수 전체에서 함수 \(f(x)=(x^2+a)e^x\) 의 역함수가 존재하기 위한 상수 \(a\) 의 최소값을 \(m\) 이라 하자. 함수 \(g(x)=\left ( x^2+m \right ) e^x\)의 역함수를 \(h(x)\) 라 할 때, \(\displaystyle \int _{m}^{2e} h(x) dx\) 의 값은? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ③
두 함수 \(f(x), \; g(x)\) 가 모든 실수 \(x\) 에 대하여 다음 조건을 만족시킬 떄, \(f(0)\) 의 값은? (단, \(a\) 는 상수이다.) (가) \(\displaystyle \int _{\frac{\pi}{2}}^{x} f(t) dt = \{ g(x) +a \} \sin x -2\) (나) \(g(x)=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(t) dt \cos x +3\) ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ④
연속함수 \(y=f(x)\) 의 그래프가 원점에 대하여 대칭이고, 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \[ f(x)=\dfrac{\pi}{2} \displaystyle \int _1 ^{x+1} f(t) dt \] 이다. \(f(1)=1\) 일 때, \[ \pi ^2 \displaystyle \int _0^1 xf(x+1) dx\] 의 값은? ① \(2(\pi-2)\) ② \(2\pi -3\) ③ \(2(\pi-1)\) ④ \(2\pi -1\) ⑤ \(2\pi\) 정답 ①
곡선 \(y=x(x+1)^4\) 에서 \(x\) 좌표가 \(t \; (t>0)\) 인 점을 \(\rm A\) 라 하자. 점 \(\rm B\) 가 곡선 \(y=\dfrac{4}{x}\; (x
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\) 가 \[f(1)=2,\;\;f(e+1)=4e+4,\;\; \displaystyle \int _1^e \dfrac{f(x+ \ln x)}{(x+1)^2} dx = 10\] 을 만족시킬 때, \(\displaystyle \int _1^e \dfrac{f'(x + \ln x)}{x} dx\) 의 값은? ① \(-7\) ② \(-1\) ③ \(5\) ④ \(13\) ⑤ \(17\) 정답 ④
\(-\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2} \) 에서 정의된 함수 \(f(x)\) 와 도함수 \(f'(x)\) 가 \[f(0)=0, \; f'(x)=1+\{ f(x) \}^2 \] 을 만족시킨다. 함수 \(f(x)\) 의 역함수를 \(g(x)\) 라 할 때, \(g'(1) \times g(1)\) 의 값은? ① \(\dfrac{\pi}{10}\) ② \(\dfrac{\pi}{8}\) ③ \(\dfrac{\pi}{6}\) ④ \(\dfrac{\pi}{4}\) ⑤ \(\dfrac{\pi}{2}\) 정답 ②
수직선 위를 움직이는 점 \(\rm P\) 의 시각 \(t\) 에서의 위치를 \(f(t)\) 라 할 때, 미분가능한 함수 \(y=f(t)\) 는 다음 조건을 모두 만족시킨다. (가) \(f(0)=\dfrac{3}{2}, \; f(1)=1,\;f(3)=4\) (나) \(0
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\) 가 있다. 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(2x)=2f(x)f'(x)\) 이고, \(f(a)=0,\;\; \displaystyle \int_{2a}^{4a} \dfrac{f(x)}{x} dx=k \;(a>0,\; 0
함수 \(f(x)=x^3 +x-1\) 의 역함수를 \(g(x)\) 라 할 때, \(\displaystyle \int _1 ^9 g(x) dx\) 의 값은?① \(\dfrac{47}{4}\) ② \(\dfrac{49}{4}\) ③ \(\dfrac{51}{4}\) ④ \(\dfrac{53}{4}\) ⑤ \(\dfrac{55}{4}\) 정답 ③
아래 그림은 직선 \(y=x\) 와 다항함수 \(y=f(x)\) 의 그래프의 일부이다. 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f'(x)\geq 0\) 이고, \(f(0)=\dfrac{1}{5},\; f(1)=1\) 일 때, 에서 옳은 것을 모두 고른 것은?ㄱ. \(f'(x)=\dfrac{4}{5}\) 인 \(x\) 가 열린구간 \((0,\;1)\) 에 존재한다.ㄴ. \(\displaystyle \int_0 ^1 f(x) dx+ \displaystyle \int _\frac{1}{5} ^1 f^{-1} (x) dx =1\) ㄷ. \(g(x)=(f\circ f)(x)\) 일 때, \(g'(x)=1\) 인 \(x\) 가 열린구간 \((0, \;1)\) 에 존재한다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ..