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목록(9차) 미적분 I 문제풀이 (531)
수악중독
$f(1)=f'(1)$ 이고 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 가 $x \ge -1$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x) \ge f'(x)$ 를 만족시킬 때, $f(2)$ 의 최솟값을 구하시오. 정답 $26$
점 $(0, \;0)$ 을 지나는 삼차함수 $y=f(x)$ 에 대하여 함수 $$F(x)= \displaystyle \int_0^x f(t)dt$$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $F(x)$ 는 $x=\alpha$ 에서 극대이고, $x=\beta$ 에서 극소이다.(나) $F(\alpha)=2, \;\; F(\beta)=0, \;\; F(\gamma)=4$ $(0
최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 최고차항의 계수가 $2$ 인 이차함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(\alpha) = g(\alpha)$ 이고 $f'(\alpha)=g'(\alpha)=-16$ 인 실수 $\alpha$ 가 존재한다.(나) $f'(\beta) = g'(\beta)=16$ 인 실수 $\beta$ 가 존재한다. $g(\beta+1) - f(\beta+1)$ 의 값을 구하시오. 정답 $243$
최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f(x)$ 에 대하여 $x \le t$ 에서 함수 $f(x)$ 의 최솟값을 $g(t)$ 라 하자. 함수 $f(x)$ 는 $x=0$ 에서 최솟값 $-3$ 을 갖고, 함수 $|g(t)|$ 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. $f \left ( \sqrt{3} \right )$ 의 값은? ① $46$ ② $48$ ③ $50$ ④ $52$ ⑤ $54$ 정답 ②
최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $|f(x)|$ 가 미분가능하지 않은 $x$ 의 값은 $1$ 개 뿐이다. (나) 함수 $|xf(x)|$ 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, 함수 $y=|xf(x)|$ 의 그래프는 $x$ 축과 서로 다른 두 점에서 만난다. 함수 $f(x)$ 의 극댓값이 $4$ 일 때, $f(5)$ 의 값을 구하시오. 정답 $20$
집합 $\{ x\; | \; x $ 는 $-1$이 아닌 실수$\}$ 에서 정의된 함수 $$f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{ax^{n+1}+1}{x^{n-1}+a}\;\; (단, \; a 는 \; 1이 \; 아닌 \; 양의 \; 상수)$$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 방정식 $f(x)=1$ 은 서로 다른 세 실근을 갖는다. (나) $\lim \limits_{x \to 1-} f(x) + \lim \limits_{x \to 1+} f(x) = \dfrac{10}{3}$ $\lim \limits_{x \to -1+} f(x)$ 의 값은? ① $2$ ② $\dfrac{7}{3}$ ③ $\dfrac{8}{3}$ ④ $3$ ⑤ $\dfrac{10}{3}$ 정답 ④
함수 $f(x)=x^4-8x^3+18x^2-20$ 과 자연수 $n$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=|f(x)-f(n)+c| \; (단, \; c는 \; 0
함수 $f(x)= \left | x^2 -x -2 \right |$ 와 실수 $t$ 에 대하여 닫힌 구간 $[t-1, \; t]$ 에서 함수 $f(x)$ 의 최솟값을 $g(t)$ 라 하자. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $g(0)=g(2)$ㄴ. 함수 $g(t)$는 $t=1$ 에서 미분가능하다.ㄷ. $\lim \limits_{h \to 0} \dfrac{g(1+h)-g(1-h)}{h}$ 의 값이 존재한다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ④
다음 그림과 같이 극댓값 $1$ 을 갖는 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 $g(x) = \displaystyle \int_x^{x+2} f(t) dt$ 라 하면 함수 $g(x)$ 는 $x=\alpha$ 에서 극댓값과 $x=\beta$ 에서 극솟값을 갖는다. 다음 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $\alpha, \; \beta$는 실수이다.)ㄱ. $\alpha=0$ 이다.ㄴ. 방정식 $g(x)=1$ 은 서로 다른 실근 $2$ 개를 갖는다.ㄷ. $\dfrac{g(\alpha)+g(\beta)}{2} = f(\beta)$ ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③
실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수 $$f(x)= \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{x^{2n+1}-1}{2x^{2n}+2}, \;\; g(x)=x^2-1$$ 에 대하여 $h(x)=f(x)g(x)$ 라 하자. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $\lim \limits_{x \to 1+} h(x)=0$ ㄴ. 함수 $h(x)$ 가 미분가능하지 않은 실수 $x$ 의 개수는 $2$ 이다. ㄷ. 실수 $k$ 에 대하여 방정식 $h(x)-k=0$ 의 실근의 개수가 $1$ 일 때, 함수 $|h(x)-k|$ 가 $x=a$ 에서 극소인 실수 $a$ 의 개수는 $2$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③