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목록(9차) 미적분 I 문제풀이/함수의 극한 및 연속 (134)
수악중독
그림과 같이 좌표평면에서 중심이 원점 \(\rm O\) 이고 반지름의 길이가 \(r\) 인 원의 \(x\) 축 윗부분에 있는 반원이 \(y\) 축 및 무리함수 \(y=\sqrt{3x}\) 의 그래프와 만나는 점을 각각 \(\rm A,\;B\) 라 하자. 직선 \(\rm AB\) 와 \(x\) 축의 교점을 \({\rm C}(k, \;0)\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{r \to +0} k\) 의 값은? ① \(2\) ② \(3\) ③ \(4\) ④ \(5\) ⑤ \(6\) 정답 ⑤
그림과 같이 \(\overline{\rm AB}=2\) 인 선분 \(\rm AB\) 를 지름으로 하는 원 \(O_1\) 과 반지름의 길이가 \(r\) 인 원 \(O_2\) 가 점 \(\rm B\) 에서 내접하고 있다. 점 \(\rm A\) 에서 원 \(O_2\) 에 그은 접선의 접점을 \(\rm P\) , 이 접선이 원 \(O_1\) 과 만나는 점 중 \(\rm A\) 가 아닌 점을 \(\rm Q\) 라 할 때, \(\lim \limits_{r \to +0} \dfrac{\overline{\rm PQ}}{r}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(1\)
함수 \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{x\left( {x - 1} \right)}&{\left( {\left| x \right| > 1} \right)}\\{ - {x^2} + ax + b}&{\left( {\left| x \right| \le 1} \right)}\end{array}} \right.\) 가 모든 실수 \(x\) 에서 연속이 되도록 상수 \(a,\;b\) 의 값을 정할 때, \(a-b\) 의 값은? ① \(-3\) ② \(-1\) ③ \(0\) ④ \(1\) ⑤ \(3\) 정답 ①
실수 \(t\) 에 대하여 열린구간 \((t-1,\;t+1)\) 에서 함수 \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}1&{\left( {x \ne 0} \right)}\\2&{\left( {x = 0} \right)}\end{array}} \right.\] 의 불연속인 점의 개수를 \(g(t)\) 라 하자. 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(g(0)=1\) ㄴ. \(\lim \limits_{x \to 1-0} g(x) + \lim \limits_{x \to -1+0} g(x)=2\) ㄷ. 함수 \(\dfrac{g(x)}{f(x)}\) 는 \(x=0\) 에서 연속이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ②
\(x\) 가 양수일 때, \(x\) 보다 작은 자연수 중에서 소수의 개수를 \(f(x)\) 라 하고, 함수 \(g(x)\) 를 \[g \left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{f\left( x \right)}&{\left( {x > 2f\left( x \right)} \right)}\\{\dfrac{1}{{f\left( x \right)}}}&{\left( {x \le 2f\left( x \right)} \right)}\end{array}}\right.\] 라고 하자. 예를 들어, \(f \left ( \dfrac{7}{2} \right ) =2\) 이고, \(\dfrac{7}{2} < 2 f \left ( \dfrac{7}{2} \right )\) 이므로 \(..
다항함수 \(f(x)\) 가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f(3)\) 의 값을 구하시오. (가) \(\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^3}=0\) (나) \(\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1}=1\) (다) 방정식 \(f(x)=2x\) 의 한 근이 \(2\) 이다. 정답 \(14\)
함수 \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{{x^2} + kx + k}&{\left( {x a + 1} \right)}\\{4x - 1}&{\left( {a \le x \le a + 1} \right)}\end{array}} \right.\] 이 모든 실수 \(x\) 에서 연속일 때, 두 상수 \(a,\;k\) 의 합 \(a+k\) 의 최댓값은? ① \(5\) ② \(6\) ③ \(7\) ④ \(8\) ⑤ \(9\) 정답 ③
다항함수 \(g(x)\) 에 대하여 극한값 \(\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{g(x)-2x}{x-1}\) 가 존재한다. 다항함수 \(f(x)\) 가 \(f(x)+x-1=(x-1)g(x)\) 를 만족시킬 때, \(\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)g(x)}{x^2-1}\) 의 값은? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ①
함수 \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{\dfrac{{a\sqrt {x + 2} + b}}{{x - 2}}}&{\left( {x \ne 2} \right)}\\2&{\left( {x = 2} \right)}\end{array}} \right.\) 가 \(x=2\) 에서 연속일 때, 두 상수 \(a, \;b\) 에 대하여 \(2a-b\) 의 값을 구하시오. 정답 \(32\)