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목록(9차) 미적분 I 문제풀이/함수의 극한 및 연속 (134)
수악중독
함수 \(f(x)=x^3 +ax-a-2\) 에 대하여 에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, \(a\) 는 상수) ㄱ. 곡선 \(y=f(x)\) 는 \(a\) 의 값에 관계 없이 점 \((1,\;-1)\) 을 지난다. ㄴ. \(f(x),\;f(2)\) 중 적어도 하나는 \(0\) 보다 크다. ㄷ. 방정식 \(f(x)=0\) 은 구간 \((0,\;2)\) 에서 적어도 하나의 실근을 가진다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤
오른쪽 그림과 같이 원점 \(\rm O\) 에서 \(x\) 축에 접하며 포물선 \(y={\Large \frac{1}{3}} x^2\) 위의 점 \({\rm P} (a,\;b)\) 를 지나는 원이 \(y\) 축과 만나는 점을 \(\rm A\) 라 한다. 점 \(\rm P\) 가 원점 \(\rm O\) 에 한없이 가까워질 때, \(\overline {\rm AP}\) 의 극한 \(\lim \limits _{a \to 0} \overline {\rm AP}\) 의 값을 구하시오. (단, 점 \(\rm A\) 는 원점이 아니다.) 정답 3
함수 \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{2 - x}&{(x \;가 \; 유리수일\;때)}\\{\left| x \right|}&{(x\;가\;무리수일\;때)}\end{array}} \right.\] 에 대하여 옳은 것을 에서 모두 고른 것은? (단, \(n\) 은 자연수) ㄱ. \(\lim \limits _{n \to \infty} f \left ( {\dfrac{2}{\sqrt{n}}} \right ) = 0\) ㄴ. \(\lim \limits _{n \to \infty} f \left ( -1 + {\dfrac{\sqrt{2}}{n}} \right ) =1\) ㄷ. \(\lim \limits _{n \to \infty} f \left ( 1+ {\d..
연속함수에 대한 중간값의 정리는 다음과 같다. 함수 \(f(x)\) 가 닫힌구간 \([a,\;b]\) 에서 연속이고 \(f(a) \ne f(b)\) 이면 \(f(a)\) 와 \(f(b)\) 사이의 임의의 값 \(k\) 에 대하여 \(f(c)=k\;\; (a
함수 \(f(x)\) 는 임의의 실수 \(x,\;y\) 에 대하여 \[ f(x+y) = f(x) +f(2y+1) - (x+1)y\] 를 만족한다. 함수 \(f(x)\) 가 모든 실수 \(x\) 에 대하여 연속일 필요충분조건은 \(f(x)\) 가 \(x=\Box\) 에서 연속이다. \(\Box\) 안에 알맞은 값은? ① \(0\) ② \(1\) ③ \(2\) ④ \(3\) ⑤ \(4\) 정답 ②
길이가 \(2\) 인 선분 \(\rm AB\) 의 연장선 위에 동점 \(\rm P\) 가 점 \(\rm B\) 에 대하여 점 \(\rm A\) 의 반대쪽에 있다. 선분 \(\rm AP\) 를 지름으로 하는 원 위에 \(\overline {\rm BP}=\overline {\rm PQ}\) 인 점 \(\rm Q\) 를 잡아 선분 \(\rm AB\) 의 연장선에 내린 수선의 발을 \(\rm R\) 이라 한다. 점 \(\rm P\) 가 점 \(\rm B\) 로부터 한없이 멀어져 갈 때, \(\overline {\rm BR}\) 의 극한값은? ① \(1\) ② \(\Large \frac{3}{2}\) ③ \(2\) ④ \(3\) ⑤ \(4\) 정답 ③
함수 \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{ - {x^2} + 2x + a}&{(x > 2)}\\{x + 2}&{(x \le 2)}\end{array}} \right.\) 가 닫힌구간 \([1,\;4]\) 에서 최댓값을 갖지 않도록 하는 상수 \(a\) 값의 범위는? ① \(a>3\) ② \(a\ge 3\) ③ \(a>4\) ④ \(a\le 4\) ⑤ \(a\ge 4\) 정답 ③
곡선 \(y=x^2\) 위에 두 점 \({\rm P}\left (a,\;a^2 \right ), \;\;{\rm Q}\left ( b,\; b^2 \right )\) 이 있다. 원점 \(\rm O\)와 점 \({\rm A}(1,\;1)\) 을 지나는 직선과 두 점 \(\rm P,\;Q\) 를 지나는 직선의 교점을 \(\rm G\) 라고 하자. \(\overline {\rm PQ} = \sqrt{2}\) 를 만족시키면서 점 \(\rm P\) 가 원점 \(\rm O\) 에 한없이 가까워질 때, 교점 \(\rm G\)가 한없이 가까워지는 점의 좌표는? (단, \(a
모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(x)\) 가 \(f(x)= \sum \limits _{k=1}^{\infty} {\Large \frac{x^m}{\left ( 1+x^2 +x^4 \right ) ^{k-1}}} \) 으로 정의될 때, \(f(x)\) 가 \(x=0\) 에서 연속이 되기 위한 자연수 \(m\) 의 최솟값은? ① \(2\) ② \(3\) ③ \(4\) ④ \(5\) ⑤ \(6\) 정답 ②