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목록(9차) 미적분 I 문제풀이/미분 (223)
수악중독
최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f(x)$ 에 대하여 $x \le t$ 에서 함수 $f(x)$ 의 최솟값을 $g(t)$ 라 하자. 함수 $f(x)$ 는 $x=0$ 에서 최솟값 $-3$ 을 갖고, 함수 $|g(t)|$ 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. $f \left ( \sqrt{3} \right )$ 의 값은? ① $46$ ② $48$ ③ $50$ ④ $52$ ⑤ $54$ 정답 ②
최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $|f(x)|$ 가 미분가능하지 않은 $x$ 의 값은 $1$ 개 뿐이다. (나) 함수 $|xf(x)|$ 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, 함수 $y=|xf(x)|$ 의 그래프는 $x$ 축과 서로 다른 두 점에서 만난다. 함수 $f(x)$ 의 극댓값이 $4$ 일 때, $f(5)$ 의 값을 구하시오. 정답 $20$
함수 $f(x)=x^4-8x^3+18x^2-20$ 과 자연수 $n$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=|f(x)-f(n)+c| \; (단, \; c는 \; 0
함수 $f(x)= \left | x^2 -x -2 \right |$ 와 실수 $t$ 에 대하여 닫힌 구간 $[t-1, \; t]$ 에서 함수 $f(x)$ 의 최솟값을 $g(t)$ 라 하자. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $g(0)=g(2)$ㄴ. 함수 $g(t)$는 $t=1$ 에서 미분가능하다.ㄷ. $\lim \limits_{h \to 0} \dfrac{g(1+h)-g(1-h)}{h}$ 의 값이 존재한다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ④
실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수 $$f(x)= \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{x^{2n+1}-1}{2x^{2n}+2}, \;\; g(x)=x^2-1$$ 에 대하여 $h(x)=f(x)g(x)$ 라 하자. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $\lim \limits_{x \to 1+} h(x)=0$ ㄴ. 함수 $h(x)$ 가 미분가능하지 않은 실수 $x$ 의 개수는 $2$ 이다. ㄷ. 실수 $k$ 에 대하여 방정식 $h(x)-k=0$ 의 실근의 개수가 $1$ 일 때, 함수 $|h(x)-k|$ 가 $x=a$ 에서 극소인 실수 $a$ 의 개수는 $2$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③
실수 $k$ 에 대하여 함수 $f(x)=x^3-3x^2+6x+k$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 하자. 방정식 $4f'(x)+12x-18=(f' \circ g)(x)$ 가 닫힌 구간 $[0, \;1]$ 에서 실근을 갖기 위한 $k$ 의 최솟값을 $m$, 최댓값을 $M$ 이라 할 때, $m^2 + M^2$ 의 값을 구하시오. 정답 $65$
실수 $t$ 와 두 함수 $f(x)=x^4-3x^2, \;\; g(x)=2tx-t^2$ 에 대하여 함수 $|f(x)-g(x)|$ 가 미분가능하지 않은 실수 $x$ 의 개수를 $h(t)$ 라 하자. 두 집합 $$A=\{a \; | \; 함수 \; h(t)는 \; t=a에서 \; 불연속이다.\}$$ $$B=\left \{ b \; \middle | \; \lim \limits_{t \to b} h(t)의 \; 값이 \; 존재하지 \; 않는다. \right \}$$ 에 대하여 $n(A)+n(B)$ 의 값을 구하시오 정답 $9$ $y$ 값에 따른 두 함수 그래프의 교점의 개수를 나타내는 그림입니다. 참고하세요
그림과 같이 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$ 의 도함수 $f'(x)$ 와 함수 $g(x) = \left \{ \begin{array}{rc} -ax^2 & (x 0$ 이고, $f'(0)=-1$ 이다. ㄱ. 함수 $h(x)$ 는 $x=3$ 에서 극솟값을 갖는다.ㄴ. $h(-3)h(3)
최고차항의 계수가 $-1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(0)=f'(0)=0$(나) 방정식 $f(x)=0$ 은 양의 실근을 갖는다. 양수 $t$ 와 함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를$$g(x) = \left \{ {\begin{array}{ll}{ f(x)}&{(x \le 0, \; x \ge t)}\\{\dfrac{f(t)}{t}x}&{\left( {0 < x < t} \right)}\end{array}} \right.$$ 라 하자. 함수 $g(x)$ 가 미분가능하지 않은 실수 $x$ 가 오직 한 개 존재하도록 하는 모든 양수 $t$ 의 값의 합이 $\dfrac{15}{2}$ 일 때, $f(-4)$ 의 값을 구하시오. 정답 $144$
삼차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $x=-2$ 에서 극댓값을 갖는다.(나) $f'(-3)=f'(3)$ 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 도함수 $f'(x)$ 는 $x=0$ 에서 최솟값을 갖는다.ㄴ. 방정식 $f(x)=f(2)$ 는 서로 다른 두 실근을 갖는다.ㄷ. 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(-1, \;f(-1))$ 에서의 접선은 점 $(2, \;f(2))$ 를 지난다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤